六。年。级。
上。册。
一、立体图形的展开与组合。
一、学一学。
例题1、下列这些平面图，哪些能围成正方体？有什么规律？
[思路点拨]第一类是中间四个，上、下各一个的展开图可以围成正方体；第二类是转化成中间四个，上、下各一个的展开图可以围成正方体；第三类是两层，每层三个的特例也可以围成正方体。
二、练一练。
1、下面各图中，哪几个是长方体表面的展开图？
2、根据展开图，说说相对的面。
3、在下面正方体展开图的六个面上，分别写上1—6中某一个数字，使该正方体相对的两个面上数字之和是7。
4、右边哪几个盒子是左边这张硬纸折成的？
5、下图是一个长方体的展开图（单位：厘米）。这个长方体的长、宽、高各是多少？
二、长方体、正方体的表面积。
一、学一学。
例题1：小明和妈妈一起给奶奶买了一份礼物，营业员阿姨用一个长45厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体盒子装好，并用彩绳包扎。如果打结处需用彩绳15厘米，这样包扎共需彩绳多少厘米？
思路点拨] 要求彩绳的长度，应该将这些彩绳分类整理。这段彩绳包括了打结的15厘米，高有4段，共40厘米；长宽各有2段，共有45×2+20×2=130厘米。最后只要将这些绳子的长度相加即可。
想一想：还有别的解法吗？
例题2：用五个相同的正方体，粘接成一个长方体，总棱长84厘米。这个长方体的表面积是多少？
思路点拨] 要求长方体的表面积的关键是求出长方体的长、宽、高；由于这个长方体是有正方体粘接成，若正方体的棱长是a，那么长方体的长和高都是a，宽等于5a；根据题意，得4a×2+5a×4=84，a=3，表面积=a×a×2+5a×a×4=3×3×2+3×15×4=198（平方厘米）
例题3：一个正方体增高2厘米（底面不变）后，得到一个长方体。长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了96平方厘米。
原来正方体表面积是多少平方厘米？现在长方体的表面积是多少？
思路点拨]长方体比正方体表面积增加了96平方厘米，就是增加了侧面的面积，即4个相等的长方形面积，这个长方形的宽2厘米，长96÷4÷2=12厘米，长就是正方体的棱长。
正方体的表面积是：12×12×6=864（平方厘米）。
长方体的表面积是：864+96=960（平方厘米）想一想：还有别的解法吗？
二、练一练。
1、一个长7分米、宽4分米、高2分米的木箱，用三根铁丝捆起来（如图）。这三根铁丝总长至少为多少米？（接头处不计）
2、把底面积5平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
3、一个长方体的表面积是30平方厘米，把它平均切开，正好成为两个相等的小正方体，求每个小正方体的表面积是多少平方厘米？
4、一个正方体的表面积是96平方厘米，把它切成两个相等的长方体后，每个长方体的表面积是多少平方厘米？
5、两个完全相等的长方体正好可以拼成一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
6、用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的大长方体，这个长方体的表面积是多少？
7、一个长方体的高减少2厘米后，成为一个正方体，那么表面积就减少48平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
8、有一块长方体石料，长30厘米、宽18厘米、高15厘米。加工时把八个顶点各凿去一个棱长为1厘米的小正方体，加工后的表面积是多少平方厘米？
9、一个正方体的棱长为4厘米，从它的前后左右上下六个面的正中心各挖去一个棱长为1厘米的小正方体，挖去后的正方体的表面积是多少平方厘米？
10、有一块长方形的铁皮，长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？
三、长方体、正方体的体积。
一、学一学。
例题1、将5个棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是140厘米。每个正方体的体积是多少厘米？
思路点拨]要求每个正方体的体积，就要求出正方体的棱长。假设正方体的棱长为x厘米，根据“5个棱长相等的正方体木块拼成一个长方体”可知：拼成的长方体的长、宽、高分别可表示为5x厘米、x厘米、x厘米。
再根据“长方体棱长总和是140厘米”，可列出方程4（5x+x+x)=140。解方程得x=5。每个正方体的体积=53=125（立方厘米）。
例题2、小明家有一个长方体形状的小金鱼缸，长5分米，宽4分米，里面只注入了2分米深的水。一天爸爸买回一座小假山。当小明把假山放入金鱼缸后（完全浸没），水面立即上升了6厘米。
这快假山的体积是多少立方分米？
思路点拨]由于鱼缸放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸内挤占了水的空间，可知上升部分水的体积就等于假山的体积。而上升部分的体积，其实就是一个长方体的形状。只要用50×40×6就可以求出假山的体积。
二、练一练。
1、将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米。每个正方体的体积是多少厘米？
2、用一个长40厘米，宽和高都是36厘米的长方体纸箱，来装棱长6厘米的正方体铁盒，最多可以装多少个？
3、棱长是4分米的正方体水箱中装有半箱水，现在把一块石头完全浸没在水中，水面比原来上升5厘米，这块石头的体积是多少？
4、体育场用37.5立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上。煤渣可以铺多少厘米厚？
5、把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。
6、一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面是0.09平方米的长方体钢材，锻成的钢材有多长？
7、把一个长方体沿长平均切成4个长方体，每个长方体长6厘米，表面积增加24平方厘米。求原来长方体的体积是多少立方厘米？
8、从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体后剩下的部分正好是棱长4厘米的小正方体，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
9、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？
10、一块长方形铁皮，长32厘米，在它四个顶角分别剪去边长4厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？
11、一个密封的长方体玻璃箱，里面装满水，从里面量得长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米（如下图）。如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米？
12、现有一个空的长方体容器a和一个水深24厘米的长方体容器b，要将容器b的水倒一部分给a，使两容器水的高度相同，这时水深是几厘米？
五、分数应用题。
一、学一学：
例1：小华看一本**，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩下170页，问这本**一共有多少页？
思路点拨] 要求这本**共多少页，需要求出剩下158页的对应分率。运用解答分数应用题的“金钥匙”——线段图就可以找到其中的对应关系。
通过观察、分析，可以这样列式：170÷（1－－）240（页）
二、练一练：
1、小红读一本书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，这时还剩下56页，这本书共多少页？
2、小红读一本书，第一天读了全书的，第二天读的是第一天的，这时还剩下56页，这本书共多少页？
3、（1）有两根同样长的钢管，第一根截去米，第二根截去。哪根截去的长？
2）一根钢管剪成两段，第一段长米，第二段是全长的。哪段长？
4、甲乙两人同时从两地相向而行，在距离中点40千米处相遇，已知甲行了全程的，甲行了多少千米？
5、一辆汽车从甲地开往乙地，先行了全程的少15千米，又行了全程的就到达乙地，求甲、乙两地的路程。
六、比的应用。
一、学一学：
例1：两个服装厂，一个月内生产的西服数量的比是6：5，两厂西服**的比是11：10，这两个厂的产值比是多少？
思路点拨] 根据：产值=**×产量，可以想到：甲产值：
乙产值=（甲产量×甲**）：（乙产量×乙**）。两厂的产值比为：
（6×11）：（5×10）=66：50=33：
25总结]：有两个或两个以上的比，把它们前项相乘的积作前项，后项相乘的积作后项，所得到的比，叫做复比。
例2：学校把368棵树苗分给六年级三个班，一班和二班分得的树苗的比是2：3，二班和三班分得的树苗棵数比是5：7，求一班、二班和三班之间的棵数比？
思路点拨]本题需要将两个不同的比化成连比。这需要利用比的基本性质—分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，比值不变。即一班：
二班=2:3=10:15，二班：
三班＝5:7=15:21。
因此可以得到：一班：二班：
三班=10:15:21。
例3：光明小学原来体育达标人数是没达标人数的，后来又有60名同学达标，这时达标人数是没达标人数的。光明小学共有学生多少人？
思路点拨]两个分率和的单位“1”都是没达标人数，但没达标人数发生了变化，因此两个分率不能相加减。在解答这类稍复杂的分数实际问题时，应抓住不变的量，一般把不变的量看作单位“1”。本题学校总人数看作单位“1”，根据“原来达标人数是没达标人数的”，可知原来达标人数是学校总人数的，根据“这时达标人数是没达标人数的”，可知这时达标人数是学校总人数的，60名同学的对应分率是-。
算式是：60÷（-
也可以用连比进行解答。原来达标人数与总人数的比是3:8，现在达标人数与总人数的比是9:
20，运用比的基本性质可得，原来达标人数与总人数的比是15:40，现在达标人数与总人数的比是18:40。
60÷（18—15）=20（人），求出每份的人数，再用20×40=800求出总人数。
二、试一试：
1、一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积与底面积的比是比值是。
2、五角人民币与贰角人民币的张数比为12:35，那么五角人民币与贰角人民币的总钱数比是（ ）
3、已知a:b=4:3，b:c=7:9，a:b:c
三、练一练：
1、两个正方形边长比是2:3，面积的比是。
六年级上册思维训练
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