5、 信息码元[m]=[1100],生成矩阵为。
利用生成矩阵进行编码。
答:可以看出:(n,k)码的生成矩阵的基本形式为:
同样,利用生成矩阵的编码关系为。
c]=[m][g]
而系统(n,k)码的生成矩阵的基本形式应当为。
这种系统码的生成矩阵也称为典型生成矩阵,其基本形式为;
g]=[ik,q],[q]为k×r矩阵,[ik]为k×k单位阵。
6、 论述系统码基本监督矩阵与典型生成矩阵的关系。
答:[g]矩阵的每一行都是一个码字矢量,分别对应信息码字[10…0],[010…0]…[00…01]的分组码的码字。
由于每一行都是码字,把每一行作为一个码字矢量,都应当满足监督矩阵所规定的监督关系,即应当有:
h][g]t=[0],同时有:[g][h]t=[0]
称[h]与[g]为正交矩阵,由。
p ir] [ik q]t=[0]
p+qt]=[0] [p]=[q]t [q] =p] t
p矩阵与q矩阵互为转置矩阵。
对于系统码,已知监督矩阵[h]就可以确定典型生成矩阵[g],反之,已知生成矩阵也就可以确定监督矩阵。
7、 简述循环码的多项式描述方法。
答:循环码可以用监督矩阵和生成矩阵描述,但更多地用域上多项式来描述,一个(n,k)循环的码字矢量c(0)用一个n-1次多项式描述,可以表示为:
c(x)= cn-1xn-1+cn-2xn-2+……c1x+c0
这个多项式称为码字多项式。
码字矢量的循环移位可以用x乘上c(x)后的模xn-1(xn+1)来表示。
xc(x)= x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+……c1x+c0)
= cn-1xn+cn-2xn-1+……c1x2+c0 x
= cn-2xn-1+……c1x2+c0 x+ cn-1 (模xn+1)
模xn+1相当于xn+1=0;xn=1
8、 列举(7,4)系统循环码的编码及码字多项式。
答:(7,4)系统循环码的编码及码字多项式如下表:
可以看出:每个码字的循环移位仍然属于这个码组,注意:并不是说这个码组是由一个码字的循环移位构成的,本例中是由四个码字的循环移位构成的。
生成多项式的定义]:
在一个(n,k)循环码中,有且仅有一个次数为n-k=r的码字多项式,记为:
g(x)=xr+gr-1xr-1+……g1x+1
同时:每个码字多项式都是g(x)的倍式;每个次数小于等于n-1的g(x)的倍式必为一个码字多项式。这时称g(x)的(n,k)码的生成多项式。
从上面的例子可见,g(x)=x3+x+1为(7,4)循环码的生成多项式。
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