万学海文。方阵相似对角化是考试的重点，可以以客观题的形式考察，也可以以解答替的形式进行考察。方阵的相似对角化包括方阵是否可相似对角化的判定以及方阵可相似对角化时如何将方阵相似对角化。
在判定方阵能否相似对角化时，常常需要利用求解方阵的特征值、方阵可相似对角化的条件及齐次线性方程组基础解系等知识。在对角化的过程中，常常需要求解特征向量，实质上就是求解齐次线性方程组的基础解系。另外，还有一类由特征值或特征向量反求其矩阵的题型，这种题型一般是利用特征方程或特征值、特征向量的定义进行分析。
万学海文数学考研辅导专家们就在这里为广大的2023年的考生们详细地介绍一下。
判断矩阵是否可相似对角化的解题步骤：
若矩阵不是实对称矩阵，则。
1°由特征多项式求出矩阵的特征值；
2°若特征值互异，则矩阵可相似对角化；
3°若有重特征值，计算的秩，对每个重特征值看其重数是否满足；
4°若满足，则矩阵可相似对角化，否则不可相似对角化；
5°若可相似对角化，求的特征值所对应的线性无关的特征向量；
6°以的特征向量为列，按特征值的顺序从左往右构造可逆矩阵，与特征向量相对应，从上到下将写在矩阵主对角线上构成对角矩阵，则．
下面通过具体的例题来看如何处理选择题的相似对角化问题。
例】下列矩阵必可相似对角化的是。
a)个b)个 (c)个d)个。
解析】(1)矩阵是实对称矩阵必可相似对角化；
2)矩阵为下三角矩阵，特征值为主对角线上的元素1,3，-1，特征值互不相同，所以必可相似对角化；
3)矩阵是秩为1的矩阵，特征值为0,0,4，特征值0所对应的特征向量线性无关的个数为：，所以特征值的重数等于特征向量线性无关的个数，从而矩阵可相似对角化；
4)矩阵为上三角矩阵，特征值为主对角线上的元素1,1,-1，特征值1所对应的特征向量线性无关的个数为：，所以特征值的重数大于特征向量线性无关的个数，从而矩阵不可相似对角化，所以应选c.
在解答题中涉及相似对角化的时候，会考察矩阵高次幂的计算，这是讲相似对角化的目的。例如。
例】设矩阵，已知有3个线性无关的特征向量，是的2重特征值。
i)试求可逆矩阵和对角阵，使得成立； (求。
解析】(i)因为3阶矩阵有3个线性无关的特征向量，故可相似对角化，对应于2重特征值的线性无关的特征向量有2个，即，故。
而。故。因此，.
由的特征方程，知的三个特征值为。
对于特征值，解方程组。
对应的特征向量为。
对于特征值，解方程组。
对应的特征向量为。
令，则。ⅱ)由知。由，有，故。
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