万学海文。实对称相似对角化是考试的重点，一提到实对称矩阵，万学海文数学考研辅导专家们提醒广大的2023年的考生应该知道它隐含的3个信息：
性质1 实对称矩阵的特征值为实数．
性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是相互正交的．
性质3 阶实对称矩阵必可相似对角化，且总存在正交矩阵，使得。
其中是的特征值．
性质2和性质3是考试的重点，也是出题所处。
将实对称矩阵利用正交矩阵，使为对角阵的方法：
1°由特征多项式求出矩阵的特征值；
2°特征向量：对每个特征值，解，求出它的基础解系；
3°正交化：利用施密特正交化方法将属于同一特征值的特征向量正交化，得到；
4°单位化：将两两正交的向量都单位化；
5°得到正交矩阵：将得到的向量按列排成阶矩阵，即为所求的正交矩阵；
6°写出关系式：，其中是与中的列向量是相应的．
例】已知是3阶实对称矩阵，不可逆，向量是的两个解。
i)求的特征值和特征向量。
ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵，使得。
ⅲ)求矩阵。
解析】(i)由于向量是的两个解，所以。
即是矩阵的特征值，是对应于的线性无关的特征向量，且对应的全部特征向量为，其中不全为零。
由于不可逆，所以，即是矩阵的特征值。
因为是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设的特征向量为，则。
解得。对应的全部特征向量为，其中。
ⅱ)对进行正交化：
单位化：令，则为正交矩阵，且。
ⅲ)由于，所以。
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