初中数学教研综述

初中数学思想方法在教学中的传授。

天河区教育局教研室刘永东。

一、问题的提出。

数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，它对于打好“双基”知识和加深对知识的理解、培养学生的思维有着独到的优势，掌握了数学思想方法，就能比较从容地驾驭数学知识，解决有关的生活问题。中学数学所蕴含的丰富内容深刻地反映了许多基本的数学思想方法，因而在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。

在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？

第一，具体的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法等；

第二，科学的逻辑方法：如观察、归纳、类比、演绎、抽象、概括以及分析法、综合法与反。

证法等逻辑方法；

第三，常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和化归。

与转化思想等。

新课标提到：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。” 标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。

然而，我们有很多教师却往往在“双基”知识上下了很多功夫，而忽视了对数学思想方法的及时渗透，甚至是放弃，造成了学生的思维能力的局限性，未能形成良好的思维品质与思维水平。这里的思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系。

数学思想方法在教学中的传授显得尤其重要，需引起重视。

二、数学思想方法在教学中的传授。

一）数学思想与数学方法的辩证关系。

所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序，这些被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。

数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它**于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。“思想方法”作为一个词语使用要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时“消元”的思想方法。

事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于“消元法”；而当我们从“代入公式直接求解”的角度去分析此问题时，就出现了“代入法”。

二）教学中基本数学思想方法的传授。

教学中向学生传授基本数学思想方法在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。

“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。

在教学中教师要做一个“渗透”的有心人，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节。以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，作为教学的一个需要完成的的目标，使之明朗化，这样才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。例如应用数形结合思想方法，强调通过图形找出直角三角形中边角之间的关系，从而解决类似求特殊角的三角函数值问题。

无论是案例1还是案例2，与教材（华师大版九年级第25章）的处理吻合，体现了数形结合的思想方法，从而得到特殊角的三角函数值，形成**，让学生记忆并通过大量的运算练习熟记。似乎已经达到教学目标，然而在课堂实施中并未真正体现传授基本数学思想方法的“突出”程度，学生的思维能力并没有得到进一步的提升，而此处恰恰是应用数形结合思想方法的好材料。于是，我们是否可以这样做：

得出特殊角的三角函数值后，不急于产生记忆，而是通过大量的基础训练乃至综合训练，如案例3，突出数形结合思想方法在此处的应用，从而达到灵活运用的程度，然后总结归纳才产生记忆，这种在产生大量的丰富的经验下形成的记忆最有效、最深刻。

案例1：案例2：

案例3：又如案例4，用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。主要是培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力，运用数学思想方法去学习新的数学方法。

这里有转化思想**化有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系链”，这是提高数学解题能力的条件和基础。）即抛物线解析式中二次项系数不为1的一般式转化成系数为1的一般式，系数为1的一般式转化成顶点式。由于第1题先做铺垫，第1环节视学生情况无需讨论，甚至是教师直接告诉学生方法（一般情况下学生较难探索出来的数学方法均可以这样做）；而第2环节则必须让学生真正讨论，在讨论中感受学习数学思想方法。

教师介绍方法，对于学生而言，数学思想得到渗透。为此教师还要做一个“层次”的选择者。面对学生，应该根据数学知识的内容、学生的年龄特点分层次地选题合适的数学思想内容，进行渗透和教学。

这就需要我们教师全面的熟悉教材，对教材中所反映的数学思想要有明确的认识，对教材内容从思想方法的角度作认真的分析，按照各个年级学生的年龄特征，知识掌握的程度，理解能力和可接受性由浅入深、由易到难分层次地贯彻数学思想的教学。

案例4：再如案例5，画树状图方法学习概率的计算。学生在掌握了列表法或枚举法后，教师采取了“介绍”画树状图的办法，让学生体会到用树状**决在复杂情况下列举所有机会均等的结果的一般步骤。

而学生恰恰是在讨论中确实做到用列表法或枚举法，甚至是不完整的树状图，这给了教师介绍方法的机会。然后在基础技能训练中强化数学方法的应用，并在最后设置灵活性较强的题目拓展学生思维能力。

由此可见，教学中教师要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透，向学生传授基本数学思想方法时，在“程度”上的把握非常关键。

案例5：三）、数形结合与化归两种基本数学思想相结合的传授。

化归”是转化和归结的简称。我们在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想，实质上就是一种转化的思想，它是分析问题解决问题的有效途径，是数学发现的重要策略和方法。有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。

在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如，在代数学习中，方程求解时大多采用“化归”的思路，它是解决方程(组)问题的最基本的思想，其主要途径是降次和消元。在图形的变换学习中，均转化为最基本的点的变换知识来研究等。

一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

由此可见，以上两种基本数学思想经常在数学解题中相结合使用，教师不容忽视。在二次函数和图形的变换教学中，更应该达到“突出”的程度，这种意识要存于心中。例如，抛物线和的图像和性质的学习就是最典型的课例。

不管是整合在一起的学习，还是分开的学习，都离不开图象的画法，因为离开了“形”就无法顺利学习。因此学生的动手操作是非常必要的，不能因为麻烦而简略，例如案例6（两种图象整合）和案例7（注：两种图象分开教学。

此案例在真正教学**现没有让学生画图象，直接给出，对于层次高的学生好象是没有影响，但对大多数学生来讲确实急需引起注意，方法需要经验的支撑。另外在列表时说选取的点值得商榷））。而在抛物线性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、平移等）的获得上面，较多教师采取了探索讨论猜想的办法，向学生渗透数形结合思想，达到了突出的程度。

然而，很多教师却忽略了化归思想在此的渗透。虽然借助了课件的动态效应，也总结了图象平移的规律（h正右移，h负左移；k正上移，k负下移），似乎学生掌握的情况也很好，达到了教学目标。殊不知时间一久情况又会如何呢？

教师都需要琢磨一下才不会错，更何况是普通学生。再说顶点式的两种表示或，就注定左右平移的易错性。小学生学习乘法口诀时，需要分几个课时学习1~9的口诀才能形成，而且是渗透运用相同的原理（乘法转化为加法）来多次学习。

在此不是否定口诀的形成作用，而是要教师注意体现学生思维的特征，体现数学思想的作用。其实，图形的平移最终可以化归为点的平移，而抛物线的顶点就是最特殊的点，一切问题均可围绕此点做文章。首先让学生充分作图，描出顶点并写出坐标。

（教师做一个“参与”的引导者，数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，学生的参与度非常重要，没有了体验就没有数学思想。让学生根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。）学生通过观察讨论，顶点坐标与抛物线中的h与k的关系，从而得出抛物线这种形式的顶点坐标，顺利的得出对称轴，至于开口方向一带而过，不成问题。

其次是根据顶点的平移特征来解决整条抛物线的平移特征。让学生牢牢抓住这种化归思想，结合抛物线的图象，来确定平移的方向与距离，使得问题就在这种最原始的、最为有效的通性通法中解决。而学生在以后的技能训练中自然会形成规律，这时再帮助学生形成口诀。

在图形的变换与坐标教学中，也是体现两种数学思想相结合的好材料，例如案例8。因此教师还需做一个“过程”的加强者。数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。

这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断的用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。

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