解：布拉格方程：2dsinθ=λ
点阵参数a与d的关系为：d=1/
有关参数列表如下。
取y=a+bx为一条直线，对于每个数据点（xi,yi）则每个点的偶然误差为ei，有ei=a+b xi,-yi
所有实验数据点误差平方和为：
（a+b x1,-y1）2+（a+b x2,-y2）2+（a+b x3,-y3）2+（a+b x4,-y4）2+（a+b x5,-y5）2+（a+b x6,-y6）2+（a+b x7,-y7）2+（a+b x8,-y8）2
根据最小二乘法原理，误差平方和最小的直线为最佳直线。
求最小值的条件是：
0及=0可得。
故可得所求方程为：
a=0.409039-5.746×10-4×
第一题：写出边值问题。
解：划分网格，对节点及界点进行编号，如图所示。
其中i=0,1,2,3,4j=0,1,2,3,4
对于每一个（xi，yi）∈d，利用数值微分公式可得。
[u(xi+1,yi)-2u(xi,yi)+ u(xi-1,yi)]+rx
[u(xi,yi+1)-2u(xi,yi)+ u(xi,yi-1)]+ry
由已知条件可知：+=0 且h1=和h2=1
+= u(xi+1,yi) +u(xi-1,yi)+ u(xi,yi+1) +u(xi,yi-1) -4u(xi,yi)=0
再由边界条件可得：
对于1,3,7,9四个非正则内点，近似为边界上的点：
对于2,4,5,6,8,五个正则内点，利用差分方程可求得：
u1+u3+u4+u5-4u2=0
u1+u5+u7-4u4=0
u2+u4+u6+u8-4u5=0
u5+u3++u9-4u6=0
u5+u7+u9+-4u8=0
代入边值以及非正则内点近似值可得。
4u2 -u4-u5=-56+16
4u4 -u5 =-60
4u5-u2-u4-u6-u8=0
4u6-u5= -108
4u8-u5= -100-16
由以上三个方程组联立可求得边值问题。
第二题：写出边值问题。
取步长h1=h2=1
解：划分网格，节点与编号如下。
由边界条件。
可得十个边界点的值为：
u1=u2=1
u3=u4=2
u9=2u8=u13=u14=u15=u16=0
其中u1、u2、u3均指x轴上的点。
对于每一个（xi，yi）∈d，利用数值微分公式可得。
[u(xi+1,yi)-2u(xi,yi)+ u(xi-1,yi)]+rx
[u(xi,yi+1)-2u(xi,yi)+ u(xi,yi-1)]+ry
由已知条件可知：+=0 且h1=和h2=1
+= u(xi+1,yi) +u(xi-1,yi)+ u(xi,yi+1) +u(xi,yi-1) -4u(xi,yi)=0
节点均为正则内点，利用差分方程可求得：
u1+u4+u6+u10-4u5=0
u2+u5+u7+u11-4u6=0
u3+u6+u8+u12-4u7=0
u5+u9+u11+u14-4u10=0
u6+u10+u12+u15-4u11=0
u7+u11+u13+u16-4u12=0
可解得六个正则内点的值为：
u5=1.0834
u6=0.7404
u7=0.4168
u10=0.8862
u11=0.4616
u12=0.2196
习题三：写出边值问题。
的差分方程，其中为区域d={（x，y）|-1解：划分网格，对节点及界点进行编号，如图所示。
根据边界条件可知：+u3=0，由此可得u3=u4
同理可得。u12=u9 u11=u8 u10=u9 u7=u8 u6=u5 u2=u5 u1=u4
利用差分方程知：
对于每一个（xi，yi）∈d，利用数值微分公式可得。
[u(xi+1,yi)-2u(xi,yi)+ u(xi-1,yi)]+rx
[u(xi,yi+1)-2u(xi,yi)+ u(xi,yi-1)]+ry
由已知条件可知：+=1 且h1=h2=
即 u(xi+1,yi) +u(xi-1,yi)+ u(xi,yi+1) +u(xi,yi-1) -4u(xi,yi)=-
因此可得各个节点的关系为。
u1+u3+u5+u8-4u4=-
u2+u4+u6+u9-4u5=-
u4+u7+u9+u11-4u8=-
u5+u8+u10+u12-4u9=-
将边界条件带入，可得边界问题的方程组：
根据方程组解得u4=u5=u8=u9=
习题4：写出最简显格式解定解问题。
的差分格式。
解：设空间步长h=，时间步长为τ。
根据题意可知：
其中j=1,2,3……j-1，n=0,1……
由上式整理可得。
5.用最简显格式解定解问题。
取步长h=0.2，t=0.1，计算出n=1,2层的数值解。
解：由题得 j=1,2,3,4 n=0,1,2……
最简显格式。
由边界条件可知：
故当n=0时，可得：
当n=1时，可得：
6.用三层显格式解定解问题。
取步长h=0.2，τ=0.1，计算出n=1,2.3层的数值解。
由题知： j=1,2,3,4 n=0,1,2……
整理得。由题目中的条件可得。
再由可得。因此有。
同理，由边界条件可得。
所以有。同理有
解释为什么三种瞬态方程的差分形式都可以写成下面统一形式。
解：对于最简显格式，忽略误差项后为。
同时，如果记。
则上式又可以写成。
令=u, 1-2r=h，可化简得。
若令。则有。
对于最简隐格式：带入数值微分公式，略去误差项后，可得差分方程。
又可以写为。
记。则可以化简为。
对于六点对称格式，因为六点对称格式本身为最简显格式与最简隐格式的等式叠加变换而成，故令h=1/2（h1+h2），f（n）=1/2（f1+f2），则六点对称格式也可写为。
gauss列主元素消元法。
对于线性方程组：
ax=b其中，a为n×n阶矩阵，非奇异；b为n维向量，x为n维未知列向量。
a==（aij）n×n，x=，b=
记ax=b的增广矩阵为。
gauss消元法具体过程如下：
当≠0时，将消零，令li1=
则变换矩阵满足：
同理，第二步过程为，若≠0时，令li2=（i=3,4,……n）
用矩阵l2乘以g（2），可得：
依次类推可得：
最终得到增广矩阵的等价方程组为。
由此得到方程组ax=b的解为：
xn=/i=1,2,……n-1
追赶法。该方法为解系数矩阵a为三对角矩阵的线性代数方程组的常用方法。
对于行如如下格式的方程组：
其矩阵形式为：
第一个方程可写为：
令故上述方程可以改为。
将其带入第i+1个方程中，可得：
由上式可以逐次递推求出p1,q1,p2,q2…pn,qn这个过程称为“追”{的过程，易知pn=0，然后由可依次求得xn,xn-1…,x1，这个过程称为“赶”的过程。
迭代法。对于线性方程组：ax=b构造一个[x(k)]值，将该值代入上式，求出新的值[x(k+1)]；再将结果代入方程，又得到新的值[x(k+2)]；依次迭代下去，即可使其迭代值接近于该方程组的精确解。
上述逼近过程即成为迭代法。
1.同步迭代法。
对于方程组ax=b，若aii≠0，则可以表示为。
即 i=1,2,…n
采用同步迭代法求解时，必须首先假设一个解(i=1,2,…n)。这一假设应尽可能接近实际，以缩短迭代过程，减少误差。将带入的右端，计算出解的一次迭代值，即：
i=1,2,…n
即为解的一次近似值。将带入的右端，得到第二次迭代值，以此类推，第k次的迭代值为。
i=1,2,…n
即为解的第k次近似值。当迭代次数无限多时，将收敛于精确解。具体结果的精度取决于方程的原始表述精度和计算要求。
迭代法。同步迭代法方法比较简答，但是每计算一组就需要计算全部的值，因此计算工作量大，收敛速度慢。gauss和seidel对其进行了改进，采用异步迭代法。其主要特点是。
在k步迭代过程中，第一式与同步迭代法相同，即：
但对于第二式，其中的由上式中得到的（k+1）次迭代得到的取代。
依次类推，可以得到。
明显可以看出，由于异步迭代及时利用了新的迭代值，因而减少了计算次数，收敛速度快。
3.超松弛迭代。
当差分方程的阶数增加时，异步迭代法收敛也不快，在gauss-seidel迭代法的基础上，提出与发展了超松弛迭代法。
由上述结果可知，gauss-seidel迭代法得到。
若采用超松弛迭代法，就是要设法削弱的作用，故令。
由上述两个式子可得。
式中，ω称为超松弛因子，即加权数。当ω=1时，即为gauss-seidel迭代法。超松弛迭代法是以加权的方式使gauss-seidel迭代法的收敛速度加快。
ω的大小影响收敛速度，在一定条件下，存在一个最佳ω值，使得迭代收敛速度最大。
推到瞬态方程的六点对称差分格式。
由四点，通过最简显格式差分方程可得：
由四点，通过最简隐格式差分方程可得：
将以上两个式子相加可得到六点式：
迭代法。对于线性方程组：ax=b构造一个[x(k)]值，将该值代入上式，求出新的值[x(k+1)]；再将结果代入方程，又得到新的值[x(k+2)]；依次迭代下去，即可使其迭代值接近于该方程组的精确解。
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