1.如图所示，三棱柱abc—a1b1c1，d是bc上一点，且a1b∥平面ac1d，d1是b1c1的中点．
求证：平面a1bd1∥平面ac1d.
2. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中m是ab的中点，g是df上的一点．当fg＝gd时，在棱ad上确定一点p，使得gp∥平面fmc，并给出证明．
3. 如图，在四面体a－bcd中，f、e、h分别是棱ab、bd、ac的中点，g为de的中点．
证明：直线hg∥平面cef.
4. 如图，边长为a的等边三角形abc的中线af与中位线de交于点g，已知△a′de是△ade绕de旋转过程中的一个图形(a′不与a，f重合)，则下列命题中正确的是( )
动点a′在平面abc上的射影**段af上；
bc∥平面a′de；③三棱锥a′-fed的体积有最大值。
abcd)②③
5.(2015·青岛模拟)如图所示，在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，点e,f分别是棱bc,cc1的中点，p是侧面bcc1b1内一点，若a1p∥平面aef,则线段a1p长度的取值范围是( )
a. b. c. d.[,
6.如图所示，在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，点m在ad1上移动，点n在bd上移动，d1m=dn=a(0(1)证明对任意a∈(0,)，总有mn∥平面dcc1d1.
2)当a为何值时，mn的长最小？
7.如图所示，四边形efgh所在平面为三棱锥a-bcd的一个截面，四边形efgh为平行四边形。
1)求证：ab∥平面efgh，cd∥平面efgh.
2)若ab=4，cd=6，求四边形efgh周长的取值范围。
1.【证明】 如图所示，连接a1c交ac1于点e，因为四边形a1acc1是平行四边形，所以e是a1c的中点，连接ed，因为a1b∥平面ac1d，平面a1bc∩平面ac1d＝ed，所以a1b∥ed.
因为e是a1c的中点，所以d是bc的中点．
又因为d1是b1c1的中点，所以bd1∥c1d，a1d1∥ad.
又a1d1∩bd1＝d1，c1d∩ad＝d，所以平面a1bd1∥平面ac1d.
2.【解】 由三视图可得直观图为直三棱柱，且底面adf中ad⊥df，df＝ad＝dc，点p在a点处．
如图，取dc中点s，连接as、gs、ga.
g是df的中点，gs∥fc，as∥cm.
gs∩as＝s，fc∩cm＝c，平面gsa∥平面fmc，ga平面gsa，ga∥平面fmc，即gp∥平面fmc.
3.证明法一如图，连接bh，bh与cf交于k，连接ek.
f、h分别是ab、ac的中点，k是△abc的重心，＝.
又据题设条件知，＝，ek∥gh.
ek平面cef，gh平面cef，直线hg∥平面cef.
法二如图，取cd的中点n，连接gn、hn.
g为de的中点，∴gn∥ce.
ce平面cef，gn平面cef，∴gn∥平面cef.
连接fh，en
f、e、h分别是棱ab、bd、ac的中点，fhbc，en綉bc，∴fh綉en，四边形fhne为平行四边形，∴hn∥ef.
ef平面cef，hn平面cef，hn∥平面。
平面ghn∥平面cef.
gh平面ghn，∴直线hg∥平面cef.
5.【解析】选b.取b1c1的中点m,bb1的中点n,连接a1m,a1n,mn,可以证明平面a1mn∥平面aef,所以点p位于线段mn上。
因为a1m=a1n==,mn==,所以当点p位于m,n时，a1p最大，当p位于mn中点o时，a1p最小，此时a1o==,所以≤a1p≤,所以线段a1p长度的取值范围是。
6.【解析】(1)作mp∥ad，交dd1于p，作nq∥bc，交dc于q，连接pq.
由题意得mp∥nq，且mp=nq，则四边形mnqp为平行四边形。
mn∥pq.
又pq平面dcc1d1，mn平面dcc1d1,mn∥平面dcc1d1.
2)由(1)知四边形mnqp为平行四边形，mn=pq，由已知d1m=dn=a，dd1=ad=dc=1，ad1=bd=,d1p∶1=a∶，dq∶1=a∶,即d1p=dq=.
mn=pq (0故当a=时，mn的长有最小值。
即当m,n分别移动到ad1，bd的中点时，mn的长最小，此时mn的长为。
解析】(1)∵四边形efgh为平行四边形，ef∥gh.
hg平面abd，ef平面abd，ef∥平面abd.
ef平面abc，平面abd∩平面abc=ab,ef∥ab.
ef平面efgh，ab平面efgh,ab∥平面efgh.
同理可得cd∥平面efgh.
2)设ef=x(0由(1)知ef∥ab，则。
又由(1)同理可得cd∥fg,则。
从而。四边形efgh的周长l=2(x+6-x)=12-x.
又0即四边形efgh周长的取值范围为(8,12).
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