层次分析法。
1、问题的提出。
例1 购物
买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、**、外形等方面的因素选择某一支钢笔。
下馆子，则要依据馆子的饭菜质量、区位条件、档次、饭菜**、服务质量等方面因素来选择。
例2 旅游。
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业。
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
例4 科研课题的选择。
由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。
解决上述决策问题时，要考虑的因素有多有少，有大有小，并且各个因素对最终的选择会有不同的影响。对于这类问题一般会采用层次分析法。
2、层次分析法的一般步骤—以下属题目为例，介绍层次分析法的一般解题步骤：
题目介绍：资金分配决策。
某个工厂可以使用一笔企业留成利润，由厂领导和职工代表大会决定如何使用，可以选择的方案有：发奖金、扩建福利设施和引进新的设备，为了进一步促进企业的发展，如何合理的使用这笔利润？
1）建立层次结构模型：
一般可分为三个层次：最上层为目标层，通常只有一个因素；中间层通常为准则或指标层，可以有一个或几个因素，而当准则或指标较多时，又可以根据实际情况进一步分解出子准则层；最下层为方案或对象或措施层。
对于该题目，同理可以分为三层：
通过上图可以很清楚的看到三层之间的关系：
准则层即是解决“怎样合理使用企业利润”，而措施层是解决准则层中“如何调动职工积极性”“如何提高企业技术水平”“改善职工生活”的问题。
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。还可以建立子层次。上图中，准则层和措施层就是不完全层次结构，例如，改进新设备对改善职工生活并没有影响。
2）构成对比矩阵：
从层次结构模型的第2层开始，对于影响上一层每个因素的同一层的逐个因素，用成对比较法和1-9比较尺度矩阵构造成对比较矩阵，直到最下层。也叫正互反矩阵。
对于本题目，可以构造如下对比矩阵：
准则层相对于目标层的对比矩阵如下：
目标层-准则层：
1/5,表示调动职工积极性c1与提高企业技术水平c2对合理利用企业利润的重要性之比为1：5， =3，表示提高企业技术水平c2与c3改善职工生活对合理利用企业利润的重要性之比为3：1.
备注：其中各元素的意义与上述类似。
另外，比例尺度的确定，取1-9的9个等级，而取的倒数，具体见下表：
2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述。
两个相邻等级之间。
如果判断矩阵的元素具有传递性，即满足。
则称矩阵为一致性矩阵。
3）相对权重向量的确定。
一般有三种方法：
1）和法。取判断矩阵n个向量归一化后的算术平均值，近似作为权重。
2）求根法。
将矩阵的各列（或行）向量求几何平均后归一化，可以近似作为权重。
3）特征根法。
该方法是最常用的一种方法：
假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为w1，w2，…，wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵：
显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk，i、j、k= 1，2，…，n
即n是a的一个特征根，每只西瓜的重量是a对应于特征根n的特征向量的各个分量。
显然，矩阵a为一致性正互反矩阵，所以，其中，n对应的特征向量为，即为我们所求的权重，也就是说，分别是本层中每个元素对上层的影响度。
通过此方法可以求得上述各个矩阵所对应的权重数值：
4）层次单排序和一致性检验。
层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量，即对判断矩阵b，计算满足：
bw = w
的特征根与特征向量。式中，λmax为b的最大特征根；w为对应于λmax的正规化特征向量；w的分量wi即是相应因素单排序的权值。
对判断矩阵一致性检验的步骤：
1）、计算一致性指标(consisteney index)：ci
显然当判断矩阵具有完全一致性时，ci=0，λmax-n越大，ci越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将ci与平均一致性指标ri(random index)进行比较。通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性。
此时，求得的与n越接近，其矩阵的一致性就越强。
2）、查找相应的平均随机一致性指标：ri对n…9，saaty给出了的值，如下表所示：
3）计算一致性比例：cr
当cr<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
平均随机一致性指标ri是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后，取算术平均数得到的。
为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将ci与平均随机一致性指标ri进行比较。
所以，对于上述求出的各个矩阵，由于其都是一致性矩阵，其对应的ci均为0.
5）层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层次a包含m个因素，a1，a2，… am ，其层次总排序权值分别为a1，a2，… am，下一层次b包含n个元素b1，b2，… bn，它们对于因素aj的层次单排序权值分别为bj1，bj2，… bjn（当bi与aj无联系时，bji＝0），此时b层次总排序权值由下表给出。
层次总排序的一致性检验。
在(1)式中，ci为层次总排序的一致性指标，cij为与aj对应的ｂ层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，ri为层次总排序的随机一致性指标，rij为与aj对应的ｂ层次中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，cr为层次总排序的随机一致性比例。同样当cr≤0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。
由上述实例我们可以将所有的矩阵放在一起进行比较：
更加具体的可以见（层次分析法。ppt）
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