例1】如图所示，点、、在上，点在的延长线上，，求的度数。
拓展1】如图所示，在的内接四边形中，为直径，求的长度。
拓展2】如图所示，在梯形中，，、分别是、上的点。已知，求证。
例2】如图所示，已知圆内接四边形中，，，并且，求的长度。
拓展1】如图所示，是的直径．若，，则 (
a. b. c. d.
拓展2】如图所示，已知是的内心，、、的延长线分别交的外接圆于、、，求证．
例3】如图所示，的直径和弦相交于点，，，求的长度。
例4】如图所示，半径的内的两条线段，且、，求的长度。
拓展1】如图所示，在半径为的圆中，弦与弦垂直于点，若，求。
拓展2】如图所示，为圆内接四边形，对角线与垂直于点，设圆的半径为，求证。
是定值。例5】如图所示，已知等边内接于圆，在劣弧取异于、的点．延长与的延长线。
交于点，延长与延长线交于点．证明：线段和的乘积与点的选择无关．
例6】如图所示，已知内接于，直径且垂足为点。弦交于点，交于点，且。连接、，求证：(1) .2) .3) .
例7】如图所示，已知在中，为的平分线，以为圆心、为半径的半圆交的延长。
线于点，交于点，交于点，且，.
1)求证。(2)求的余弦值。(3)若，求。
例8】如图所示，在中，，且垂足为点，平分且交于点。
过、、三点作圆交于点，、交于点，求证。
例9】如图所示，是正方形外接圆的劣弧上的任意一点，，，求的长度。
拓展1】(2023年三帆中学初三期中考试压轴试题)如图所示，，以为直径作，是。
的劣弧上的任意一点，求证为定值。
拓展2】如图所示，是中心为的正方形内部一点，，，求的。
边长。拓展3】如图所示，经过正方形的顶点和中心并且和、两边分别交于、两点。
1)求证。(2)若的半径为，，求的值。
习题1】如图所示，是半圆的直径，弦、相交于点，已知，是的中点，则等于( )
a. b.2 c. d.
习题2】如图所示，内部两条弦、互相垂直，平分，若、，求的。长度。
现代汉语1讲 教师版
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