等腰三角形（教师教案）
第一段典型例题。
开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：
今天的内容主要包括以下几部分内容：
一． 等腰三角形的性质。
二． 等腰三角形的判定。
三． 等边三角形的性质和判定。
课程目标】1．了解等腰三角形的性质及判定方法；
2．用三角形的性质和判定定理进行推理和证明；
3．用等边三角形的性质和判定进行一些简单的推理和计算；
课程安排】1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解。
2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师根据情况讲解。
1）等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”）
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）
3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。
除了具有等腰三角形的性质外，还具有这样的特殊性质：
等边三角形的每个内角等于60°.
判定等边三角形的方法：
1）根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
3）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
例题如图，在△abc中，已知ab=ac,ad=de, ∠bad=20°, edc=10°.求∠dae的度数。
分析：根据条件“ab=ac,ad=de”可知，图中有等腰△abc和有等腰△dae，根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得∠b=∠c,∠dae=∠dea ，用代数方法来解几何题，设∠dae=x°，用x来表示其他相关的角，最后把条件转化、集中到一个三角形中去列方程，是这类题目的通常思路。
解：设∠dae=x°,则∠bac=∠dae+∠bad=x°+20°.
在△abc中，ab=ac（已知），∠b=∠c（等边对等角）.
又∵∠bac+∠b+∠c=180°(三角形的内角和等于180°)，在△ade中，ad=de（已知），∠aed=∠dae= x°（等边对等角）.
在△edc中，∠aed=∠edc+∠c（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），即。
解得 x=60
dae=60°.
总结：（1）在几何中，经常用代数方法来求解。比如这道题中设∠dae=x°，把其他相关的角如∠bac、∠c、∠aed，用x表示，然后列方程求出x就可以了。
2）要用x表示其他相关角，就要建立这些角和x之间的联系。这道题主要是应用等腰三角形“等边对等角”的性质的，得到∠b=∠c，∠aed=∠dae，从而建立这些角和x之间的联系。
除了“等边对等角”的性质，目前学习到的经常用来建立角之间联系的性质还有：三角形外角性质、互补和邻补角、互余、三角形的内角和定理、三角形的外角和定理、平角，以及从图形上直观反映出的角的和差关系等。
3）尽量把条件转化到一个三角形中去。比如这道题中把条件转化到△dec中，利用三角形外角的性质作为相等关系列出方程。
提示：这道题还可以把条件转化到△abc或者△abd中求解，请你试一试？与例题的解法相比，哪种方法更简捷？
例题如图，在△abc中，d、e是bc边上的点，∠b=∠c，ad=ae，说明bd=ce的理由。
分析：这道题可以用“等腰三角形三线合一”的性质来解。三线合一性质的推理模式是“如果某条线段是三线中的其中一条，那么它是三线中的另外两条（或其中的一条）”。
从条件易得△ade和∠abc是等腰三角形。我们以作bc的垂线段ah为例，这时的推理模式就是：ah是三线中的高，那么它是底边上的高或顶角平分线。
下面给出具体步骤，其中箭头和它右边的斜体字是帮助同学们理解等腰三角形三线合一性质的，不是解题过程。
解：过点a作ah⊥bc,垂足为h。 —表明ah是△ade和△abc底边上的高。
又∵ad=ae（已知），dh=eh（等腰三角形三线合一）。 ah既然是△ade底边上的高当然也是其底边上的中线。
∠b=∠c（已知），ab=ac（等角对等边），bh=ch（等腰三角形三线合一）。 ah既然是△abc底边上的高当然也是其底边上的中线。
bh-dh=ch-eh（等式的性质），即bd=ce。
这道题也可以用三角形全等，通过证明bd、ce所在的三角形全等来解：
方法。二、解：∵ad=ae（已知），∠aed=∠ade（等边对等角），∠aec=∠adb（等角的补角相等）。
在△abd和△ace中，△abd≌△ace（aas）。
bd=ce（全等三角形的对应边相等）。
总结：用等腰三角形的性质，可减少证三角形全等的次数。所以灵活运用等腰三角形的性质可简化证题过程。
等腰三角形三线合一的性质是一条很重要的性质，在后面的学习中也有很重要的应用。请同学们认真做相关的习题，多总结。
例题如图，已知d是∠abc、∠acb的平分线的交点，de∥ab，交bc于e，df∥ac，交bc于f.如果bc=12cm,求△def的周长。
分析：△def的周长=de+ef+fc。不难证明de=be，df=cf，从而把问题转化成△def的周长=be+ef+cf=bc=12cm 。
解：∵bd平分∠abc（已知），∠abd=∠dbe（角平分线定义）.
de∥ab（已知），∠bde=∠abd（两直线平行，内错角相等）.
∠dbe=∠bde（等式的性质）.
eb=ed（等角对等边）
同理，fd=fc.
def的周长为：
de+df+ef=be+cf+ef=bc=12cm
即△def的周长为12 cm .
总结：像这道题那样通过“角平分线+平行线”构成等腰三角形是一类典型的图形，基于这种图形的题目也很常见。我们应该加强对图形的认知，找到其中的等腰三角形。
你能从下面这道题中找到“角平分线+平行线”构成的等腰三角形吗？
如图，已知cd平分∠acb，de∥bc，说明de=ce的理由。
判定一个三角形是否等边三角形有3种方法：
1）根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
3）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
下面我们通过三个例题来学习如何分别应用这三种方法进行判定的。
例题1 如图，在等边△abc中，分别在各边上截取ad=be=cf，联结de、ef、fd.试判定。
def的形状，并说明理由。
分析：要判定△def的形状，就要找出△def边的大小关系或者是否有特殊角。
由题目中的条件易证得△dbe≌△ecf≌△fda，进而得到de=ef=fd。
解：△def是等边三角形，理由如下：
在等边△abc中，ab=bc=ca, ∠a=∠b=∠c（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°）.
又∵ad=be=cf（已知），ab-ad=bc-be=ca-cf（等式的性质），即db=ec=fa.
在△dbe和△ecf中，△dbe≌△ecf(sas).
de=ef（等边三角形三条边相等）.
同理可证，ef=fd.
de=ef=fd（等式的性质）,△def是等边三角形（三条边相等的三角形是等边三角形）.
总结：因为易于通过证明△dbe≌△ecf≌△fda得到de=ef=fd，所以我们用“三条边相等的三角形是等边三角形”的判定方法来解这道题。
例题2 在等边△abc的边上各取d、e、f三点，使ad=be=cf，ae、bf、cd两两相交于h、i、g，说明△ghi是等边三角形的理由。
解：理由如下：
△abc是等边三角形（已知），ab=bc=ca，∠abe=∠bcf=∠cad=60°（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°）.
在△abe和△bcf中，△abe≌△bcf（sas）.
∠eab=∠fbc（全等三角形的对应角相等）.
在△ahb中，ghi=∠hab+∠hba（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠ghi=∠eab+∠hba=∠abc=60°.
同理可证，∠ hig=∠igh=∠ghi=60°
△ghi是等边三角形（三个内角都等于60°的三角形是等边三角形）.
例题3 已知：如图，△abc是等边三角形，d为ac上一点，∠1=∠2，bd=ce.判断△ade的形状并说明理由。
解：△ade是等边三角形。理由如下：
△abc是等边三角形（已知），ab=ca，∠bac=60°（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°）.
在△abd和△ace中，△abd≌△ac(sas).
ad=ae，∠bad=∠dae（全等三角形的对应边相等，对应角相等）.
△dae是等腰三角形。
在等腰△dae中，∠dae=∠bad=60°（已证），△dae是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
例题 （1）等腰三角形有一个内角是30°，求另外两个内角的度数。
2）等腰三角形的两条边长度分别是3和7，求它的周长。
分析（1）：等腰三角形的性质之一是“等边对等角”，就是说，等腰三角形的两底角相等，已知条件中30°的内角可能是底角，也可能是顶角，所以要分两种情况进行讨论。
解：（1）分两种情况讨论：
若顶角是30°，则另外两个角都是底角。则底角度数为： =75°；
若底角是30°，则另外两个角一个是底角，也等于30°，一个是顶角，度数为。
另外两个角的度数为75°，75°或者30°，120°。
分析（2）：欲求周长，需先求出第三边长。根据定义可知等腰三角形有两条边相等。那么腰长是3还是7呢？可分情况讨论。
应该注意的是：根据三角形三边关系可知，不是任意长度的三条线段都能够组成三角形的，须满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。千万不要忘记判断能否组成三角形！
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