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全国2023年1月高等教育自学考试。
线性代数试题。
课程**：02198
一、填空题(每小题2分，共36分)
1. 行列式=__
2. 设三阶方阵a的行列式det(a)=3，则a的伴随矩阵a*的行列式det(a*)=
3. 当a=__时，方程组有非零解。
4. 设a=，且det(a)=ad-bc≠0，则a-1=__
5. 设a=，b=，c=(2-1)，则(a-b)ct=__
6. 设向量=(1,2,0),=1,0,3),=2,3,4),且满足：2(-)3(-)则=__
7. 若，线性无关，而，线性相关，则向量组，2,3的最大无关组为___
8. n元齐次线性方程组ax=0的系数矩阵a的秩r9. 设方程组，当a取___时，方程组无解。
10. 若λ=3是可逆方阵a的一个特征值，则a-1必有一个特征值为___
11. 设，分别属于方阵a的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则与必线性___
12. 设=(1,0,1),=0,1,1),则与，均正交的非零单位向量为___
13. 设a为实对称矩阵，=(1,1,1)t，=(3,-1,a)分别是属于a的相异特征值λ1与λ2的特征向量，则a=__
14. 设三阶方阵a的特征值为1，-1，-1，且b=a2，则b的特征值为___
15. 设向量组=(1,2,3),=2,1,3),=1,1,0),则向量组，的秩是___
16. 设η1,η2是方程组ax=b的两个解，则___必是ax=0的解。
17. 设实对称矩阵a=是二次型f(x1,x2,x3)矩阵，则二次型f(x1,x2,x3)=_
18. 设实二次型f(x1,x2)=+tx1x2+2，则当t的取值为___时，二次型f(x1,x2)是正定的。
二、计算题(共54分)
1. (5分)解方程：=0.
2. (5分)设a=，b=且满足xa=b，求x.
3. (6分)已知向量β=(1,2,μ)可由=(1,-1,2)，=0,1,-1)，=2,-3,λ)唯一地线性表示，讨论λ的取值范围。
4. (5分)设1r3的一组基为=(0,1,1),=1,1,0),=1,0,1),试将，，化为1r3的一组标准正交基。
5. (5分)设三阶方阵a的特征值为1，2，-2，又b=3a2-a3,说明b能否对角化？若能对角化，试求与b相似的对角阵。
6. (8分)设矩阵c=a［(a-1)2+a*ba-1］a.
其中，a=,b=.
a*为a的伴随矩阵。
1)化简c (2)计算det(c).
7. (10分)求方阵a=的特征值及特征向量。
8. (10分)设a=,b=,x=,就a,b各种取值，讨论非齐次线性方程组ax=b的解，如有解，就求出解。
三、证明题(每小题5分，共10分)
1. 设a，b都是n阶正交矩阵，证明ab也是正交矩阵。
2. 设a，b都是n阶矩阵，且a是正定的，b是半正定的，证明：a+b是正定矩阵。
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