全国2024年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案。
课程**：04184
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．设a为3阶方阵，且，则（ d ）
a．-4b．-1c．1d．4
2．设矩阵a=（1，2），b=，c=，则下列矩阵运算中有意义的是（ b ）
a．acbb．abcc．bacd．cba
3．设a为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ b ）
a．a＋atb．a－atc．aatd．ata
4．设2阶矩阵a=，则a*=（a ）
a． b． c． d．
5．矩阵的逆矩阵是（ c ）
abcd．
6．设矩阵a=，则a中（ d ）
a．所有2阶子式都不为零b．所有2阶子式都为零。
c．所有3阶子式都不为零d．存在一个3阶子式不为零。
7．设a为m×n矩阵，齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件是（ a ）
a．a的列向量组线性相关b．a的列向量组线性无关。
c．a的行向量组线性相关d．a的行向量组线性无关。
8．设3元非齐次线性方程组ax=b的两个解为，，且系数矩阵a的秩r(a)=2，则对于任意常数k, k1, k2，方程组的通解可表为（ c ）
a．k1(1,0,2)t+k2(1,-1,3)tb．(1,0,2)t+k (1,-1,3)t
c．(1,0,2)t+k (0,1,-1)td．(1,0,2)t+k (2,-1,5)t
9．矩阵a=的非零特征值为（ b ）
a．4b．3c．2d．1
10．4元二次型的秩为（ c ）
a．4b．3c．2d．1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．若则行列式=__0__．
12．设矩阵a=，则行列式|ata|=_4__．
13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__0__．
14．设矩阵a=，矩阵，则矩阵b的秩r(b)= 2__．
15．向量空间v=的维数为__2__．
16．设向量，，则向量，的内积=__10__．
17．设a是4×3矩阵，若齐次线性方程组ax=0只有零解，则矩阵a的秩r(a)= 3__．
18．已知某个3元非齐次线性方程组ax=b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为__0__．
19．设3元实二次型的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是．
20．设矩阵a=为正定矩阵，则a的取值范围是．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算3阶行列式．
解：．22．设a=，求．
解： 23．设向量组，，，
1）求向量组的一个极大线性无关组；
2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．
解： 1）是一个极大线性无关组；（2）．
24．求齐次线性方程组的基础解系及通解．
解： ，基础解系为，，通解为
25．设矩阵a=，求正交矩阵p，使为对角矩阵．
解：，特征值，．
对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，单位化为；
对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，单位化为．
令，则p是正交矩阵，使．
26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：，．
解：正交化，得正交的向量组：
单位化，得正交的单位向量组：
四、证明题（本大题6分）
27．证明：若a为3阶可逆的上三角矩阵，则也是上三角矩阵．
证：设，则，其中，所以是上三角矩阵．
全国2024年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案。
课程**：04184
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．设行列式=1， =2，则=（ d ）
a．-3b．-1c．1d．3
2．设a为3阶方阵，且已知，则（ b ）
a．-1bcd．1
3．设矩阵a，b，c为同阶方阵，则（ b ）
a．atbtctb．ctbtatc．ctatbtd．atctbt
4．设a为2阶可逆矩阵，且已知，则a=（ d ）
a．2bc．2 d．
5．设向量组线性相关，则必可推出（ c ）
a．中至少有一个向量为零向量。
b．中至少有两个向量成比例。
c．中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
d．中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合。
6．设a为m×n矩阵，则齐次线性方程组ax=0仅有零解的充分必要条件是（ a ）
a．a的列向量组线性无关b．a的列向量组线性相关。
c．a的行向量组线性无关d．a的行向量组线性相关。
7．已知是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，是其导出组ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组ax=b的通解可以表为（ a ）
ab． cd．
8．设3阶矩阵a与b相似，且已知a的特征值为2,2,3，则（ a ）
abc．7d．12
9．设a为3阶矩阵，且已知，则a必有一个特征值为（ b ）
abcd．
10．二次型的矩阵为（ c ）
a． b． c． d．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．设矩阵a=，b=，则a+2b=．
12．设3阶矩阵a=，则．
13．设3阶矩阵a=，则a*a=．
14．设a为m×n矩阵，c是n阶可逆矩阵，矩阵a的秩为r，则矩阵b=ac的秩为__r__．
15．设向量，则它的单位化向量为．
16．设向量，，，则由线性表出的表示式为．
17．已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=__2__．
18．设a为n阶可逆矩阵，已知a有一个特征值为2，则必有一个特征值为．
19．若实对称矩阵a=为正定矩阵，则a的取值应满足．
20．二次型的秩为__2__．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．求4阶行列式的值．
解：．22．设向量，，求（1）矩阵；（2）向量与的内积．
解：（1）；（2）．
23．设2阶矩阵a可逆，且，对于矩阵，，令，求．
解：，=24．求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组．
解： 秩为3，是一个极大线性无关组．
25．给定线性方程组．
1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；
2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．
解：（1），时，方程组有无穷多解；
2）时， ，通解为。
26．求矩阵a=的全部特征值及对应的全部特征向量．
解： 特征值，．
对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）；
对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，，对应的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）．
四、证明题（本大题6分）
27．设a是n阶方阵，且，证明a可逆．
证：由，得，，．
所以a可逆，且．
全国高等教育自学考试线性代数试题
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