青城山高级中学高2012届（理科）4月数学试题。
试卷满分150分答卷时间：120分钟）
命题人：包艳审题人：蒋昌军。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，，则=（
a. b. c. d.
2.若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
abcd.3、“＞0”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（ ）
a.充分不必要条件b.必要不充分条件
c.充要条件d.既不充分也不必要条件。
4、若m、n是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：（ 若；若；
若m不垂直于内的无数条直线；
若。其中正确命题的序号是
abcd．②④
5、在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则的值为（ ）
a． bc． d．
6、数列满足且（≥2），则数列的第2012项为（ ）
a． b． c． d．
7、将函数的图形按向量平移后得到函数的图形，满足和，则向量的一个可能值是（ ）
a． b． c． d．
8、把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
a.168b.96c.72d.144
9、已知p是椭圆左准线上一点，分别是其左、右焦点，与椭圆交于点，且，则的值为（ ）
a． b．4 c． d．
10、设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为 （
11、正四棱锥v—abcd的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则ab两点的球面距为（ ）
ab． c． d．
12、设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立。 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ）
a.(3, 7) b.(9, 25) c. (9, 49) d. (13, 49)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡相应的位置．
13.在的展开式中，项的系数为 （用具体数字作答）
14．已知直线与圆相交于，两点，且，则___
15．已知函数在处连续，则。
16.给出下列命题，在中，若，则是锐角三角形；
在中，是的充要条件；
已知非零向量，则“”是“的夹角为锐角”的充要条件；
命题“在三棱锥中，已知，若点在所在的平面内，则”的否命题为真命题；
函数的导函数为，若对于定义域内任意， ，有恒成立，则称为恒均变函数，那么为恒均变函数。
其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题共12分）设函数。
1)求的值域；
2)记的内角a、b、c的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。
18.（本题满分12分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用。
ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次。
抽到使用过的零件的概率；
ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望。
19．（本小题共12分）
如图，在直三棱柱中，，，是的中点．
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成
角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）如图，已知直线l：，过椭圆c：（）的右焦点f且交椭圆c于a、b两点。
点a、f、b在直线g：上的射影依次为d、k、e，若抛物线的焦点为椭圆c的顶点。
1）求椭圆ｃ的方程；
2）若直线l交轴于点m，且，当m变化时，求的值。
21．（本小题满分12分）已知数列中，，其前项和为，且当≥2时，
1）求证：数列为等比数列；
2）求数列的通项公式；
3）令，记数列的前项和为，证明：对于任意正整数，都有。
22．（本题满分14分）已知函数=，常数》0．
ⅰ）若是函数的一个极值点，求的单调区间；
ⅱ）若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
ⅲ）设函数=，求证： （
青城山高级中学高2012届（理科）4月数学试题。
答案。1、选择题：dabdd cdddb bd
2、填空题：13．16 14． 15．3 16．①②
3、解答题：
18.解：（ⅰ解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则2分。
所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率。 …5分。
ⅱ）解：随机变量的所有取值为7分。
；.…10分。
所以，随机变量的分布列为：
………11分。
12分。19.（ⅰ证明：连结，交于点，连结。
由是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点。
又为中点，所以为中位线，所以2分。
因为平面，平面，
所以∥平面4分。
ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直。如图建立空间直角坐标系5分。
设，则。所以6分
设平面的法向量为，则有。
所以取，得7分。
易知平面的法向量为8分。
由二面角是锐角，得9分。
所以二面角的余弦值为。
ⅲ）解：假设存在满足条件的点。
因为**段上，，，故可设，其中。
所以10分。
因为与成角，所以11分。
即，解得，舍去12分。
所以当点为线段中点时，与成角。
20、（1）易知b＝，∴1分。
又………3分。
椭圆方程为………5分。
2）设，由。
………8分。
又。………10分。
………12分。
21、(1)证明：当时，又由知对于一切正整数均有。
数列为等比数列。……3分。
2）由（1）知数列的首项为1，公比为4，
又当时， 又。
………6分。
3）证明：当时，，此时。
又。………8分。
当时， ＝………11分。
又对于任意的正整数都有＞0，所以单调递增，即≥
所以对于任意的正整数都有≤＜…12分。
22．解（ⅰ）因为是函数的一个极值点，，…2分
令，再令……3分。
函数的单调递增区间是， 单调递减区间是………4分。
ⅱ）函数在区间上是增函数，则对恒成立．即对恒成立5分。
令，则知对恒成立 ……6分。
在单调递增7分。
． …8分。
ⅲ）f（x）=＝
=>…10分。
）（）13分。
相乘得： ……14分。
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