实验目的。
1.通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法。
2.学习并掌握用matlab求不定积分、定积分。
3.学习matlab命令sum、symsum与int.
实验内容 1.学习matlab命令。
(1)求和命令sum调用格式。
sum(x)，给出向量x的各个元素的累加和，如果x是矩阵，则sum(x)是一个元素为x的每列列和的行向量。
例。sum(x)
ans=55例。x=
sum(x)
ans=12 15 18
2)求和命令symsum调用格式。
symsum(s，n)， 求s(1)+s(2)+…s(n)
symsum(s，k，m，n)，求s(m)+s(m+1)+…s(n)
当x的元素很有规律，比如为表达式是s(k)的数列时，可用symsum求得x的各项和，即。
symsum(s(k)，1，n)=s(1)+s(2)+…s(n)
symsum(s(k)，k，m，n)=s(m)+s(m+1)+…s(n)
例 k n
symsum(k，1，10)
ans=55
symsum(k2，k，1，n)
ans=1/3*(n+1)3-1/2*(n+1)2+1/6*n+1/6
3)matlab积分命令int调用格式。
int(函数f(x)) 计算不定积分∫f(x)dx
int(函数f(x，y)，变量名x) 计算不定积分∫f(x，y)dx
int(函数f(x)，a，b) 计算定积分∫f(x)dx(a，b)
int(函数f(x，y)，变量名x，a，b) 计算定积分∫f(x，y)dx(a，b)
2.计算不定积分。
例4.4.计算∫x2lnxdx
解：输入命令：
int(x2*log(x))
可得结果：
ans=1/3*x3*log(x)-1/9*x3
注意设置符号变量。
例4.5.计算下列不定积分：
1.∫sqrt(a2-x2)dx
2.∫(x+1)/(3x+1)(1/3)dx
3.∫x2arcsinxdx
解：首先建立函数向量。
syms x
syms a real
y=[sqrt(a2-x2)，(x-1)/(3*x-1) (1/3)，x2*asin(x)];
然后对y积分可得对y的每个分量积分的结果。
int(y，x)
ans =1/2*x*(a2-x2)(1/2)+1/2*a2*asin((1/a2)(1/2)*x)，1/3*(3*x-1)(2/3)+1/15*(3*x-1)(5/3)，1/3*x3*asin(x)+1/9*x2*(1-x2)(1/2)+2/9*(1-x2) (1/2)]
3.定积分的概念。
定积分是一个和的极限。取y=exp(x)，积分区间为[0，1]，等距划分为20个子区间。
x=linspace(0，1，21);
选取每个子区间的端点，并计算端点处的函数值。
y=exp(x);
取区间的左端点乘以区间长度全部加起来。
y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20
s1=1.6757
s1可作为∫exp(x)dx(0，1)的近似值。
若选取右端点：
y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20
s2=1.7616
s2也可以作为∫exp(x)dx(0，1)的近似值。下面我们画出图象。
plot(x，y);hold on
for i=1:20
fill([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，x(i)]，0，0，y(i)，y(i)，0]，’b’)
end如果选取右端点，则可画出图象。
for i=1:20;
fill([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，x(i)]，0，0，y(i+1)，y(i+1)，0]，’b’)
hold on
endplot(x，y，’r’)
在上边的语句中，for … end是循环语句，执行语句体内的命令20次，fill命令可以填充多边形，在本例中，用的是兰色(blue)来越小，读者可试取50个子区间看一看结果怎样。下面按等分区间计算lim(exp(1/n)/n+exp(2/n)/n+…+exp(n/n)/n)(n→∞)
syms k n
s=symsum(exp(k/n)/n，k，1，n);
limit(s，n，inf)
得结果 ans=exp(1)-1
4.计算定积分和广义积分。
例4.6.计算∫exp(x)dx(0，1).
解：输入命令：int(exp(x)，0，1)得结果ans=exp(1)-1.这与我们上面的运算结果是一致的。
例4.7.计算∫|x-1|dx(0，2)
解：输入命令：
int(abs(x-1)，0，2)
得结果ans =1.本例用mathematica软件不能直接求解。
例4.8.判别广义积分∫1/xpdx(1，+∞1/sqrt(2π)exp(-x2/2)dx(-∞与∫1/(1-x)2dx(0，2)的敛散性，收敛时计算积分值。
解：对第一个积分输入命令：
syms p real;int(1/xp，x，1，inf)
得结果ans =limit(-1/(p-1)*x(-p+1)+1/(p-1)，x = inf).由结果看出当p<1时，x(-p+1)为无穷，当p>1时，ans=1/(p-1)，这与课本例题是一致的。
对第二个积分输入命令：
int(1/(2*pi)(1/2)*exp(-x2/2)，-inf，inf)
得结果： ans=7186705221432913/18014398509481984*2(1/2)*pi(1/2)
由输出结果看出这两个积分收敛。
对后一个积分输入命令：
int(1/(1-x)^2，0，2)
结果得ans=inf.说明这个积分是无穷大不收敛。
例4.9.求积分∫（sinx/x）dx(0，1)
解：输入命令：int(sin(x)/x，0，t)，可得结果sinint(t)，通过查帮助(help sinint)可知sinint(t)=∫sinx/xdx(0，1)，结果相当于没求！
实际上matlab求出的只是形式上的结果，因为这类积分无法用初等函数或其值来表示。尽管如此，我们可以得到该函数的函数值。输入vpa(sinint(0.
5))可得sinint(0.5)的值。
练习。1．计算下列不定积分。
1) ∫x2/(x+1)dx2）∫(sin2x/)dx
3) ∫1/dx4) ∫x+1)/(x2+x+1)dx
5) ∫x2exp(-2x)dx6) ∫arcsinx/(x2)dx
2．计算下列定积分。
1）∫(xlnx)dx(0,e2) ∫x/sin2xdx(pi/4,pi/3)
3) ∫sin(lnx)dx(1,e4) ∫x3sin2x/(x4+2x2+1)dx(-1,1)
3．求∫(1+lnx)/(xlnx)2dx并用diff对结果求导。
4．求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱（0<=t<=2pi）与x轴围成的图形面积。
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