第一次上课资料。
五年级奥数专题一： 位值原则。
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。
位值原理）结论1：
个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。
练习：证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。
位值原理）例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。由题意得到。
（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。 所以原来的两位数是85。
例3 a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是。
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到。
所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。
例4 用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。
例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
（a+b）×5-（10a+b）=6，5a+5b-10a-b=6，4b-5a=6。
当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。
练习： 如果，那么=?。
例6 将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若。
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。
例7 写出所有满足条件的下面条件的6位数：这个六位数的个位是6，如果将这个六位数增加6，他的数字和就减少为原来的数字和的。（见附件）
作业。1. 某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数(答案：207)
2. 证明：如果三位数能被7整除，则（a+2b）也能被7整除。（位值原理）
3. 有a，b两个整数，a的各位数字之和为35，b的各位数字之和为26，两数相加时进位3次，那么（a+b）的各位数字之和是多少？（参见例7，答案34.）
4. 有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。
5 .一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。
定义新运算（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
根据以上的规定，求10△6的值。
3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…100！的个位数字是几？
分析与解：1！=1，2！
=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！
=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，……
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…100！的末位数字都是0。
所以，要求1！+2！+3！+…100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
解：3¤（4¤6）¤12
练习31.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数p， q，规定 p☆q=（p×q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……
求（44）÷（33）的值。
第3讲定义新运算（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
根据以上的规定，求10△6的值。
3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…100！的个位数字是几？
分析与解：1！=1，2！
=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！
=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，……
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…100！的末位数字都是0。
五年级奥数专题
第一讲巧用公因数 公倍数 质因数解题。一 巧用公因数。例1 有两根彩带分别长48厘米和60厘米，把这两根彩带剪成长度相等的小段且没有剩余，每段彩带最长是多少厘米？最少一共剪成多少段？练习 张老师把24支笔和32本本子平均奖励给班上的三好学生，正好全部分完，这个班最多有多少名三好学生？例2 有三根钢管...
五年级上奥数专题
抽屉原理。姓名。例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。例2 一副扑克牌 去掉两张王牌 每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？例3 从 这15个偶数中，...
小学五年级奥数专题
本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程 时间 速度的关系表现为 在实际问题中，总是已知路程 时间 速度中的两个，求另一个。例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从a，b两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达b地。求a，b两地的距离。分析与解 先画示意图如下 图中c...