班级姓名。全卷150分，考试时间为120分钟。
1、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。 ）
1．已知集合m=， 则集合m的元素个数为 （
a．10b．9c．8d．7
2．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
3．三个数的大小顺序是（ ）
a、 b、
c、 d、4、若，则的值为（ ）
a、 0 b、—1 c、 1d、 以上均不对。
5.设，则。
ab． cd．
6．函数的图象是。
abcd7.函数满足 ， 则这样的函数个数共有。
a．1个b．2个c．3个d．4个。
8.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞1)上是减函数，则a的取值范围是。
． a＞2a＜2a≥2a≥-2
9.定义集合运算：.设，则集合
的所有元素之和为。
a．0b．2 c．3 d．6
10.设f(x)是r上的奇函数， 且在(0, +上递增， 若f()=0, f(log4x)＞0, 那么x的取值范围是。
或＜x＜1 c.＜x＜1 d.＜x＜2
11. 对任意实数规定取三个值中的最小值，则函数 （
a、有最大值2，最小值1b、有最大值2，无最小值，c、有最大值1，无最小值， d、无最大值，无最小值。
12．如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有。
害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：
t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述。
1 第4个月时，剩留量就会低于；
2 每月减少的有害物质量都相等；
3 若剩留量为所经过的时间分别是，则。
其中所有正确的叙述是。
abcd．②
第 ⅱ 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）
13.设函数 ， 则方程的解为。
14.函数有且只有一个正实数的零点，则实数m的取值范围为。
15.将个正整数1，2，3，…，填入到个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方。如右图就是一个3阶幻方。
定义为阶幻方对角线上数的和。例如，那么。
16．定义在r上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数。现有如下命题：
对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
g(x)＝2x为函数f(x)＝2x的一个承托函数；
定义域和值域都是r的函数f(x)不存在承托函数。
其中正确的是。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（12分）若集合，且，求实数的值。
18．（12分）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱。
1） 试用x表示圆柱的高；
2） 当x为何值时，圆柱的侧面积最大。
19. （12分）已知函数f(x)=loga (ax2x+)在[1, 2]上恒为正数， 求实数a的取值范围。
20、（12分） 已知奇函数。
1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；
2）若函数f（x）在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围。
21．（12分）某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查和**，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
1）分别将a，b两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入a，b两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。
22. （14分）已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，1）求证：是偶函数；
2）在上是增函数；
3）解不等式。
高一级数学竞赛试卷（答案）
一、选择题。
二、填空题。
. 13．-2 14. m=0或m=1 15. 34 16. ①
16.解析：对于①，若f(x)＝sinx，则g(x)＝b(b<－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y＝tanx，y＝lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
对于②，∵当x＝时，g()＝3，f()＝2＝2＝，∴f(x)∴g(x)＝2x不是f(x)＝2x的一个承托函数；
对于③如f(x)＝2x＋3存在一个承托函数y＝2x＋1.
三、解答题。
当n=时 =1-4a<0 a>1/4 当n=时 =0 x=2 a不存在。
当n=时 =0 x=-3 a不存在当 n=时 a=-6 综上a>1/4 或a=-6
18. （1）h=6-3x(0＜x＜6） （2）s= -6π+6π(0＜x＜6）
19.题设条件等价于(1) 当a＞1时， ax2x+＞1对x∈[1, 2]恒成立；
2)当0＜a＜1时， 0＜ax2x+＜1对x∈[1, 2]恒成立。
由(1)得a＞对x∈[1, 2]恒成立， 故得a＞.
由(2)得对x∈[1, 2]恒成立， 故得＜a＜.
因此， a的取值范围是a＞或＜a＜
20、（1）当 x<0时，－x>0，
又f（x）为奇函数，∴，
f（x）＝x2＋2x， ∴m＝24分。
y＝f（x）的图象如右所示6分。
2）由（1）知f（x）＝，8分。
由图象可知，在[－1，1]上单调递增，要使在[－1，|a|－2]上单调递增，只需10分。
解之得12分
21、（1）投资为万元，a产品的利润为万元，b产品的利润为万元，由题设。
由图知，又
从而6分。2）设a产品投入万元，则b产品投入10-万元，设企业的利润为y万元。
y=+=令
当，，此时=3.75
当a产品投入3.75万元，b产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元12分。
22、（1）证明：令=1 则f(1)=2f(1) 得 f(1)=0 令=-1则f(1)=2f(-1) 得f(-1)=0
因为f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x) 故f(x)为偶函数。
2)任取
高一年级第一学期半期数学试题
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