第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动。
五年级选拔赛。
一、填空题。
1. 计算。
分析】原式。
2. 最接近2013的质数是___
分析】2011
3. 黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色。一次至少取出___块才能保证其中至少有2块木块颜色相同。
分析】共种颜色，需要取出块。
4. 一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科技馆的有23人，既参观植物馆又参观动物馆的有5人，既参观植物馆又参观科技馆的有2人，既参观动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有___人这三个馆都没有参观。
分析】共有人参观了至少一个馆，所以有1个人三个馆都没参观。
5. 如图，，则（图中有圆弧部分的那个角）的度数为___
分析】四边形内角和为360°，所以优角。
6. 一次考试中，小明需要计算的值，结果他计算成了。幸运的是，他仍然得到了正确的结果。则。
分析】由题意。
7. 某次射箭比赛，满分是10份，初赛阶段淘汰所有参赛者的50%。已知进入复赛的选手平均分比全体选手的平均分高2分，且进入复赛选手的平均分是8分。则被淘汰选手的平均分是。
分析】设共有人，则进入复赛的选手为人、被淘汰的选手也为人。全体选手平均分为6分，总分为分，进入复赛选手总分为分，所以被淘汰的选手总分为分，平均分为分。
8. 有若干本书和若干本练习本。如果按每1本书配2本练习本分给一些学生，那么练习本分完时还剩2本书；如果按每3本书配5本练习本分给另一些学生，那么书分完时还剩1本练习本。
那么，书有___本，练习本有本。
分析】不妨设有本书，则练习本有本，由题意，所以书有15本，练习本有26本。
9. 在51个连续奇数中选取个数，使得它们的和为2013，那么的最大值是。
分析】要使最大，则所选的数最好小。
所以所选的数必须少于45个。
而44个奇数的和为偶数。
所以的最大值理论上为43
下面开始构造，，，将83换成99，和增大16，81换成97，和增大16，，所以要替换9个数，再替换1个数使其大4即可。
所以，可以选1至63，69，以及83至101这43个数。
综上，最大为43。
10. 小明和小强玩一个数字游戏，小明选择了一个数字（0~9之间），然后说：“我正在考虑一个三位数（百位允许为0），这个三位数的百位为，十位为3，并且能被11整除，请你找出这个三位数的个位数。
”小强非常开心，因为他知道能被11整除的数的规律。但是他思考后发现这样的三位数不存在。则。
分析】不妨设这个三位数为，若这个三位数能被11整除，则有。
由题意，无论为0至9这十个数字中的哪一个时，这个三位数都不能被11整除。
所以应有，即当取0至9时，依次对应为1至10，所以。
11. 我们将具有如下特性的四位数称为“中环数”：（1）四个数字各不相同；（2）千位数字既不是这四个数字中最大的，也不是这四个数字中最小的；（3）个位数字不是这四个数字中最小的。
这样的“中环数”有___个。
分析】从0至9中任选4个不同的数字有种选法。
不妨设取出的四个数字为。
由题意，只能排在百位或十位，有2种选择。
不能排在千位，还剩2个位置可选。
剩下的没有要求，依次有个位置可选。
综上，中环数共有个。
12. 世纪公园里有一片很大的草地，每天总会生长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）。每天早上8点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留待明天再除。
第一天，一些工人去除草，除到9点收工；第二天，10个工人去除草，除到8点30分收工；第三天，8个工人去除草，除到___点___分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）。
分析】不妨设草1分钟长1份。
第一天9点时，整块草地上的杂草被除干净了，即草量为0，所以到第二天8点30分时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草。
这些草被10位工人用30分钟除干净了，所以1个工人1分钟可除草份。
第三天8点时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草，8个工人每分钟可除草份，需要用分钟把草除干净，即第三天8点39分收工。
13. 如图，一个棱长为12厘米的正方体被切了一刀，这刀是沿着切入的，从切出，使得，，截面为长方形。正方体被切成了两个部分，这两个部分的表面积之和为平方厘米。
分析】表面积比原来正方体的表面积增加了两个长方形。
如下图，，，由勾股定理，
所以新增的长方形面积为。
两部分表面积之和为平方厘米。
14. 如图是一个除法算式，在空格中填入合适的数字能使这个算式成立。那么被除数是___
分析】由，可知都为奇数，且，互不相同。
由为三位数，为四位数，为三位数，可知为中最大的一个，所以。
若，则的个位为5不为7，所以。
若，则由的个位为7，可知，此时由的个位为9，可知，与矛盾，所以。
所以，则由的个位为7，可知，由的个位为1，可知，由的个位为9，可知，由，由，所以为113或123
而，万位不为9，所以。
所以，被除数为。
15.均为正整数。已知有7个约数，有6个约数，有3个约数，有24个约数，有10个约数。则的最小值为。
分析】由a有7个约数，可知，其中为质数，由c有7个约数，可知，其中为质数，若不含有质因子，则中质因子的个数为6，此时的约数个数应为的倍数，不可能是24个，所以b含有质因子。
由于24大于7的约数有，所以中质因子的个数可能为
若中质因子的个数为11，则b中质因子的个数为5，由于b有6个约数，所以，此时，若，则有8个约数，若，则有18个约数，均不为10个约数，所以中质因子的个数不为11
若中质因子的个数为23，则b中质因子的个数为17，显然不可能为6个约数。
所以中质因子的个数为7，则b中质因子的个数为1
若不含有质因子，则中质因子的个数为2，此时的约数个数应为的倍数，不可能是10个，所以b含有质因子。
由于10大于3的约数有，所以中质因子的个数可能为
若中质因子的个数为9，则b中质因子的个数为7，显然不可能为6个约数。
所以中质因子的个数为4，则b中质因子的个数为2
所以，且。所以，最小值为。
16. 有这样的正整数，使得均为完全平方数。则所有符合要求的正整数___
分析】不妨设。
所以。解得或。
17. 将。
填入下表，使得填入的数能被其所在列的位置号整除，那么有___种不同的填写方法。
分析】由于。
所以1至11中，3的约数有这三个。
必须填在号下面。
可以填在下面，有2种填法。
9下面可以填，有2种填法。
剩下3个数可以随意填在下面，有6种填法。
综上共有种填法。
18. 如图，是边长为6的正方形，是一个梯形，点分别是的中点，。联结并延长交于点，作，则___
分析】如下图，连接ai，延长cd交gh于k
易知，所以，同理。
又由，，可知。
设，由勾股定理。
有。又由勾股定理。
所以。19. 如图所示，甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动。
为大圆的直径，点在上，分别为两个小圆的直径。甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行，乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行（）。甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从点出发，然后不断地爬行，速度比为。
经过分钟，两只蚂蚁相遇。接下来，甲蚂蚁将自己的速度提高了，乙蚂蚁的速度不变，继续在原来的轨道上爬行。经过分钟，两只蚂蚁再一次相遇。
已知，则甲蚂蚁按原来的速度绕大圆爬行一周需要分钟（本题答案写为假分数）。
分析】乙爬行一个8字的路程为，甲爬行一圈的路程为，所以甲乙爬行的路程相等，所以甲从a到c的路程与乙从a到c的路程相等。
由于一开始，所以第一次相遇时，甲爬了3圈，乙爬了2个8字，在a点相遇。
甲将速度提高后，，所以第二次相遇时，甲爬行了2圈，乙爬了1个8字。
所以，在507500分钟当中，乙爬了3个8字，所以乙爬一个8字用时分钟，由于一开始，所以甲以初始速度爬行一周需要。
20. 将0~9填入下图圆圈中，每个数字智能使用一次，使得每条线段上的数字和都是13。
分析】如下图，被算了3次，被算了4次，被算了2次。则。由于。
所以。所以，分别为
所以分别为
又，所以或9
若，则矛盾。
所以。上海学而思分校教材研发中心。
李唯瑒。
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