正数和负数。
一、设计思路。
对刚入中学的七年级学生来说，在中学所经历的第一堂数学课可能会给他们留下难以忘怀的印象．因此，刚入中学的第一堂数学课给学生一个什么样的印象，是每个数学教师都需要认真思考的问题之一．如果第一堂课上得好，就会给学生留下深刻的印象，产生美好的憧憬，激发学习数学的热情．
怎样设计第一堂课呢？由于每位教师对数学的理解不同，而且每位教师对学生的把握也存在差异，因此不同的教师对第一堂课的设计就会有不同的观念，因而也就有不同的处理方式．一般说来，对于第一堂课教师需要考虑下面三个方面的问题：一是激发学生对数学学习的兴趣，引发学生对数学的憧憬和向往；二是要给学生介绍将要学习的数学课的一些主要内容；三是要让学生大体了解解决数学问题所需要的一些基本思想方法．因此这节课需要情景交融，融情于景；需要语言活泼，富有激情；需要学生积极主动参与，让学生在“做数学”的活动中体验“做数学”的乐趣．
二、教学活动安排。
1.开场白。
同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？（可以让学生自己来说说自己是怎样学习数学的，从学习数学的过程中得到哪些经验等等）
学数学可以使人变得更聪明”，为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？（也可以让学生自己来说说自己通过学习数学有什么变化）
数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？（也可以让学生自己来说说他们所体验到的生活中的数学是什么样的）
有了上述的热身活动之后，教师就可以请同学们来讨论下面的几个问题：
（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨？
（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么？
3）有这样一个故事：太平洋中有a、b两个靠得较近的小岛．a岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而b岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了a、b两岛中的一个，但不能分辨这个岛是a岛还是b岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是a岛还是b岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：
他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是a岛还是b岛．
你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？
当学生在思考或讨论这些问题的时候，我们可以向学生介绍数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．
此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”教师可以适当地给学生做一些解释以帮助学生较好地感受其中每句话的含义，如果可能还可以再给学生举出几个例子，以帮助学生认识数学应用的广泛性．
说明：设计这样的开场白目的主要在于引导学生认识数学的研究对象，数学是研究数量和图形的学科．在这节课所选取的问题应该注重趣味性，所选问题最好通俗易懂，以便能让学生从这些问题中感受到数学是有趣的，数学内容是丰富的，从而引发学生对数学的好奇心和学习数学的欲望．
2. 问题解决。
教师可以在学生回答问题的过程中引导学生尝试解答前面的几个数学问题．
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．
法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．
法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．
法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．
教师对学生给出的各种解法或思路，要肯定其中的合理性，并给予鼓励；对于其中的不足，则应重在引导，我们应该在此基础上，怎样进一步去思考或怎样变换思考问题的角度，等等．
按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．
假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．
设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．
对于第（2）个问题，老师可以先准备一些正方形的纸片，如果学生有想动手实际操作的欲望，我们就可以给他们提供几个正方形纸片．如果有学生动手画图，那么就可以提醒他所画的正方形的边长应该相同的，这样才与实际的问题相符合．
教师可以在时机成熟的时候展示学生的成果，可以是动手拼出来的最后图形，也可以是学生动手画出来的半成品，只要有想法都可以展示给同学们看．可能有些方法暂时还不能最终解决问题，但也可能给其他同学提供一些思路，也可能有其他的同学能给这位同学提供一些帮助，从而让这位同学最终解决这个问题．下面我们提供一种解决方案，仅供大家参考．
比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在图2的基础上，连结ab、bc、cd、da，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如图3，这样所得到的四边形abcd就是一个符合条件的较大的正方形了．这个问题的求解过程，作为图形的拼合时用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．
第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发言，进行适当的补充或深化．
我们在下表中列出了在不同的地点，不同的被访问者，针对同一问题的不同回答．
借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：如果这个问题是在a岛提出来的，那么不论是a岛的居民，还是b岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在b岛提出来的，答案总“不是”．
这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是a岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是b岛．
3．拓展练习。
《数学课程标准》( 实验稿 )指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．”因此，在学生成功解决上述问题之后，我们还可以再给他们提供几个具有思考性或实践性的问题，供学生课外做进一步地思考．
1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为多少米地毯？
2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？拼3个呢？4个呢？
5个呢？你能从中找到规律，拼写n个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？
3）扑克牌游戏：在扑克牌1~k中，请你任抽一张，点数记在心，然后做下面的计算：把这张牌的点数乘以2，再加上3，把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道个中的缘由吗？
提出这些问题目的是让学生从中认识到数学的魅力和乐趣．
本课的目的在于开阔学生的视野，并不要求他们掌握多少具体的数学知识，也不需要他们作严格的论证，只要求他们了解数学所包含的多方面的内容，解决数学问题需要观察、试验、猜测、计算、推理等，让学生在做数学的过程中去感受数学的魅力与乐趣，从而激发学生学习数学的热情，鼓励学生观察生活，用数学的眼光来观察身边的事物．
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