一、填空。
1、 有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的合起来是13亩，麦地的一半和菜地的合起来是12亩，那么菜地有亩。
﹝分析﹞解：设菜地有χ亩，麦地有y亩。
解得χ＝18，y＝12
答：菜地有18亩。
2、―次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有人。
﹝分析﹞学生的人数永远是整数。
根据题意可知，学生人数是的公倍数，而[7，2，3] ＝42， 42小于50，所以参加的学生总数为42人。
42×（1－－－1（人）
答：得差的学生有1人。
3、 有一城镇共5000户居民，每户的子女不超过2人，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子人。
﹝分析﹞“一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，”那么，余下的家庭中另一半每家有0个孩子，于是，余下的家庭平均每户1个孩子，开始的一部分家庭每户1个孩子，所以整个城镇平均每户有1个孩子，共5000户居民，所以此城镇共有孩子：
1×5000＝5000（人）
答：此城镇共有孩子5000人。
4、科学家进行一次实验，每隔5小时作一次记录，他做第12次记录时，时钟正好九点整，问第一次作记录时，时钟是点。
﹝分析﹞⑴第一次作记录和第12次作记录的时间差为5×（12－1）＝55小时。
⑵“做第12次记录时钟正好九点整”，所以第一次作记录在55小时之前，55÷24＝2（昼夜）……7（小时）
即往前推2昼夜再推7小时，所以第一次作记录时是9－7＝2点。
答：第一次作记录时，时钟显示2点。
5、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是 ，除数是 。
﹝分析﹞⑴错误的商是383，比正确的商大21，正确的商是383－21＝362。被除数看错了，而除数没错，也就是除数没有变化。
⑵设除数为χ。则正确的被除数是362χ，错误的被除数是362χ＋500或383χ＋17
所以被除数＝23×(383－21) ＝8326
答：这道题的被除数是8326，除数是23 。
6、甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因为生病，中途停止10天。40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲一共背单词个。
解：设乙每天背诵单词χ个，则甲每天背诵单词（χ＋8）个。
答：甲一共背单词960个。
算术解法：⑴ 甲背40天，乙背40－10＝30天，乙背的单词正好是甲的一半。则乙30天背的单词等于甲40×＝20天背的单词。用v表示每天背诵单词的效率，则：
v甲×20＝v乙×30
v甲︰v乙＝30︰20＝3︰2
⑵ 甲比乙每天多背3－2＝1份，甲比乙每天多背8个，每份单词就是8个。
v甲＝8×3＝24个。
甲一共背单词24×40＝960个。
答：甲一共背单词960个。
二、解答。7、甲乙合作一项工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成全部任务的，第二天乙又单独作了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲1人单独做，需要多少小时？
﹝分析﹞⑴第二天乙单独作6小时完成1－－＝
第一天乙6小时完成×（1＋）＝
第一天甲6小时完成－＝
⑵甲乙合作时甲每小时完成÷6＝，所以，甲单独做时每小时完成÷（1＋）＝甲单独做需要1÷＝33小时。
答：如果这件工作始终由甲1人单独做，需要33小时。
8、龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，乌龟每分钟爬30米，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问乌龟和兔子谁先到达终点？先到的到达终点时后到的离终点还有多少米？
﹝分析﹞⑴兔子跑了330×10＝3300米，之后睡215分钟，也就是10＋215＝225分钟的时间兔子总共前进了3300米。而乌龟（10＋215）分钟总共前进了30×225＝6750米。
⑵余下的路程乌龟只需（7000－6750）÷30＝8分钟的时间就能到达终点。而8分钟的时间兔子只能前进330×8＝2750米。所以乌龟到达终点时兔子只跑了3300＋2750＝6050米，离终点还有7000－6050＝950米。
答：鸟龟先到终点，乌龟到达终点时兔子距离终点还有950米。
9、如图，正方形边长为2厘米，以圆弧为分界线的甲、乙两部分面积的差(大的减去小的)是多少平方厘米？(圆弧内部的是等腰直角三角形)。(取3.14)
﹝分析﹞⑴ 甲的面积＝（22－π×22×）×2－＝0.43
乙的面积＝（π22×－）0.57
⑵乙的面积－甲的面积＝0.57－0.43＝0.14平方厘米。
答：甲、乙两部分面积的差是0.14平方厘米。
10、设α@b＝[αb]＋（b），其中[α,b]表示α与b的最小公倍数，（αb）表示α与b的最大公约数，已知12@χ＝42，求χ。
﹝分析﹞⑴ 12@χ＝42
[12, χ12, χ42 ，因为两个数的最大公约数一定是最小公倍数的约数，所以[12, χ是（12, χ的倍数，（12, χ是[12, χ的约数。
⑵ 由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积，所以。
两个数的最大公约数（12, χ必定是χ的约数，那么，[12, χ必定是12的倍数，小于42的12的倍数有三个。所以，原题转化为：
12的倍数 ＋ 42的约数 ＝42，满足条件的只有36＋6＝42，所以，[12, χ36 ；（12, χ6。
答：χ等于18。
第二部分首师附中历年真题展示。一、填空。
分析：⑴ 先来复习一个整数的裂项公式：
1×2×3×4＋2×3×4×5＋3×4×5×6＋……n（n＋1）（n＋2）（n＋3）
＝ n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）
⑵原式共有48项，从第5项到第48项是：
约分之后，分母都是52×51×50×49×48，分子依次是×3×2×1，⑵前面的4项，通分之后分母也是52×51×50×49×48，分子依次是×47×46×45、⑶原式＝
2、由六个正方形组成的“十字架”的面积是150平方厘米，它的周长是厘米。
﹝分析﹞ ⑴每个小正方形的面积是150÷6＝25平方厘木，因为5×5＝25，所以小正方形的边长为5厘米。
⑵一周共有14段5厘米。所以“十字架”的周长是5×14＝70厘米。
答：“十字架”的周长是70 厘米。
3、一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是 。
﹝分析﹞ “被7除余2，被8除余3”，这个数如果加上5，就能被7和8整除。因此，这个数应该是7和8的公倍数减去5，形如56n－5的形式。
200以内符合56n－5的形式的数有，其中被9除余1的数只有163，所以所求的数为163。
4、一个密封的长方体水箱，从里面量长60厘米，宽30厘米，高30厘米。当水箱如下左图放置时，水深为20厘米，当水箱如下右图放置时，水深厘米。
﹝分析﹞ ⑴先求出水的体积为60×30×20＝36000立方厘米，如右图放置时，水的体积不变，所以水深为36000÷(30×30) ＝40厘米。
答：当水箱如下右图放置时，水深40 厘米。
⑵ 左图中水箱中水的高度是水箱的＝，所以水箱中水的体积是水箱的。右图中水箱中水的。
体积也是水箱的，所以右图中水的高度是水箱的，是60×＝40厘米。
答：当水箱如下右图放置时，水深40 厘米。
二、解答。5、制作一批零件，甲车间要10天完成。如果甲车间与乙车间一起做只需6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。
现在3个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个，问：丙车间制做了多少个零件？
﹝分析﹞ ⑴甲车间每天完成。
乙车间每天完成－＝，丙车间每天完成－＝，三个车间一起做，甲车间的效率是乙车间的÷＝1.5倍。
时间相同，甲车间完成的工作量也是乙车间的1.5倍。而甲车间比乙车间多制作零件2400个，所以甲车间共制作零件2400÷（1.5－1）×1.5＝7200个。
这批零件总数是7200÷＝72000个。
丙车间完成72000×＝4200个。
答：丙车间制做了4200个零件。
6、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙单独工作需要24小时，丙单独工作需要30小时。现在甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；……每人工作一小时换班，直到工程完成。
问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？
﹝分析﹞ ⑴三个人的工作状态是每9个小时为一个循环周期。观察发现，实际每3个小时小时，甲、乙、丙就各工作了一个小时，一共完成总工作量的＋＋＝
1÷＝7，所以需要经过7个3小时。
此时整个工程还差1－×7＝，此时已经过了2个循环周期零3小时，所以接下来的工作顺序是乙、丙、甲；乙先完成了，接着丙完成了，还剩下＝，甲会在÷＝小时内完成。所以工程完成时甲工作了7小时，乙和丙各工作了8小时。
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