一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
5)设， ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( c )
a) (b) (c) (d)
答案( c )
解析： 由于，可知线性相关。
6) 设a为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且。若p=（）则( b )
a) (b) (c) (d)
答案( b )
解析：，则，所以。
7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则( )
abcd)
答案( a )
解析：的联合密度函数为，则。
8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为。
(abcd)
答案( d)
解析：设两段长度分别为，显然，两者是线性关系，且是负相关。所以相关系数为。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
13)设为三维单位向量，e为三阶单位矩本，则矩阵的秩为。
答案：2解析：矩阵的特征值为，所以的特征值为，又由于为实对称矩阵，是可以相似对角化的，故它的秩等于它的非零特征值的个数。
14)设，，是随机事件，a与c互不相容，
答案： 解析：由条件概率的定义知，其中，故。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20)(本题满分分)
设。1）计算行列式 (2)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。
解析：（1）把按第四行展开得：
2) 由。可知要使方程组有无数个解，则有，所以。此时原方程组的增广矩阵可化为：，进一步化为行最简形式，由此可知导出（齐次）组的基础解系为，非齐次方程组的特解为，故其通解为。
21)(本题满分 11分)
已知，二次型的秩为2
1）求实数的值；
2）求正交变换将化为标准型。
解析：（1）由可知，，所以；
2）此时，则二次型的矩阵为，，得的特征值为：对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，将，，单位化可得：，，
22）（本题满分11分）
设二维离散型随机变量、的概率分布为。
ⅰ）求；ⅱ）求。
解析：由二维离散型随机变量、的概率分布可知：
(23)(本题满分11 分)
设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设。
1)求的概率密度。
2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量。
3）证明为的无偏估计量。
解析：（1）因为，且与相互独立，故，所以的概率密度。
2）似然函数为：
所以，为的无偏估计量。
一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
5)设，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为。
a) (b) (cd)
答案( c )
解析： 由于，可知线性相关。
(6)设a为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且，若则=(
a) (b) (c) (d)
答案( b )
解析：，则，所以。
(7)设随机变量x与y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则( )
a) (b) (c) (d)
答案：( d)
解析：的联合密度函数为，则（由二重积分的几何含义知，此积分即为单位圆在第一象限的面积）。
8)设为来自总体（0）的简单随机样本，则位计量的分布为 (
a) n（0,1）(b) t(1)(c) (d)
答案：( b)
解析：从形式上看，该统计量一定是t分布。
具体证明：
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
13)设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得矩阵，则。
答案：-27
解析：.14)设、、是随机事件，与互不相容，, 则。
答案： 解析：由条件概率的定义知，其中，故。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20)(本题满分11 分)
设， 1） 计算行列式；
2）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。
解析：（1）把按第四行展开得：
2) 由。可知要使方程组有无数个解，则有，所以。此时原方程组的增广矩阵可化为：，进一步化为行最简形式，由此可知导出（齐次）组的基础解系为，非齐次方程组的特解为，故其通解为。
21)(本题满分11 分)
已知，二次型的秩为2，1）求实数的值；
2）求正交变换将化为标准形。
解析：（1）由可知，，所以；
2）此时，则二次型的矩阵为，，得的特征值为：对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，将，，单位化可得：，，
22）（本题满分11分）
设二维离散型随机变量、的概率分布为。
ⅰ）求；ⅱ）求。
解析：由二维离散型随机变量、的概率分布可知：
23）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，且服从参数为1的指数分布。 记，
ⅰ）求的概率密度；
ⅱ）求。解析：（1）的密度函数为，分布函数为。
与相互独立且同分布，由知，
所以；2）由知，
所以； 又因为。
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