数学一试题。
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1)若函数在处连续,则( )
2)设函数可导,且,则( )
3)函数在点处沿向量的方向导数为( )
4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:
s),则( )
5)设是维单位列向量,为阶单位矩阵,则( )
6)设矩阵,则( )
7)设为随机概率,若,则的充分必要条件是( )
8)设为来自总体的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是( )
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。
9) 已知函数,则。
(10) 微分方程的通解为___
(11) 若曲线积分在区域内与路径无关,则。
(12) 幂级数在区间内的和函数___
13)设矩阵,为线性无关的3维列向量组,则向量组的秩为。
14)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则___
三、解答题:15—23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)(本题满分10分)
设函数具有2阶连续偏导数,,求,
16)(本题满分10分)求。
17)(本题满分10分)
已知函数由方程确定,求的极值。
18)(本题满分10分)
设函数在区间上具有2阶导数,且,证明:
方程在区间内至少存在一个实根;
方程在区间内至少存在两个不同实根。
19)(本题满分10分)
设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分,其上任一点的密度为。
记圆锥面与柱面的交线为。
求在平面上的投影曲线的方程;
求的质量。20)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。
证明;若,求方程组的通解。
21)(本题满分11分)设二次型。
在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵。
22)(本题满分11分)设随机变量相互独立,且的概率分布为,的概率密度为。
求。求的概率密度。
23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做次测量,该物体的质量是已知的,设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差,利用估计。
求的概率密度;
利用一阶矩求的矩估计量。
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