2023年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1）若函数在处连续，则（ ）

2）设函数可导，且，则（ ）

3）函数在点处沿向量的方向导数为（ ）

4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：

s），则（ ）

5）设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（ ）

6）设矩阵，则（ ）

7）设为随机概率，若，则的充分必要条件是（ ）

8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（ ）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

9) 已知函数，则。

(10) 微分方程的通解为___

(11) 若曲线积分在区域内与路径无关，则。

(12) 幂级数在区间内的和函数___

13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为。

14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则___

三、解答题：15—23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15）（本题满分10分）

设函数具有2阶连续偏导数，，求，

16）（本题满分10分）求。

17）（本题满分10分）

已知函数由方程确定，求的极值。

18）（本题满分10分）

设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：

方程在区间内至少存在一个实根；

方程在区间内至少存在两个不同实根。

19）（本题满分10分）

设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为。

记圆锥面与柱面的交线为。

求在平面上的投影曲线的方程；

求的质量。20）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。

证明；若，求方程组的通解。

21）（本题满分11分）设二次型。

在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵。

22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为。

求。求的概率密度。

23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计。

求的概率密度；

利用一阶矩求的矩估计量。

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