数学试卷。一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．)
a) 0． (b) 1． (c) 2． (d) 3．
2)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次方程的解，则。
3)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g "(x)＜0，若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是。
a) f'(a)＜0． (b) f'(a)＞0． (c) f " a)＜0． (d) f " a)＞0．
4)，则当x充分大时有。
a) g(x)＜h(x)＜f(x)． b)h(x)＜g(x)＜f(x)．
c) f(x)＜g(x)＜h(x)． d)g(x)＜f(x)＜h(x)．
5)设向量组ⅰ：α1，α2，…，r，可由向量组ⅱ：β1，β2，…，3线性表示，则下列命题正确的是。
a) 若向量组ⅰ线性无关，则r≤s． (b) 若向量组ⅰ线性相关，则r＞s．
c) 若向量组ⅱ线性无关，则r≤s． (d)若向量组ⅱ线性相关，则，r＞s.
6)设a为4阶实对称矩阵，且a2+a=0，若a的秩为3，则a与a相似于。
7)设随机变量x的分布函数。
8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1，3]上的均匀分布的概率密度，若。
为概率密度，则a，b应满足。
a)2a+3b=4． (b)3a+2b=4． (c)a+b=1 (d)a+b=2．
二、填空题(把答案填在题中横线上。)
9)设可导函数y=y(x)由方程___
10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为g，则g绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为___
11)设某商品的收益函数为r(p)，收益弹性为1+p3，其中p为**，且r(1)=1，则r(p)=_
12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=__
13)设a，b为3阶矩阵，且|a|=3，|b|=2，|a-1+b|=2，则|a+b-1|=_
14)若x1，x2，…，xn，为来自正态总体n(μ,2)(σ0)的简单随机样本，记统计量，则e(t)=_
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值．
设函数f(x)在闭区间[0，3]上连续，在开区间(0，3)内二阶可导，且。
ⅰ)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)f(0)；
ⅱ)证明存在ζ∈(0,3)，使得f " 0．
已知线性方程组ax=b存在2个不同的解．
ⅰ)求λ，a；
ⅱ)求方程组ax=b的通解．
设二维随机变量(x，y)的概率密度为。
求常数a以及条件概率密度f y|x(y|x)．
箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记x为取出红球的个数，y为取出白球的个数．
ⅰ)求随机变量(x，y)的概率分布；
ⅱ)求cov(x，y)．
参考解答。一、选择题。
1) c (2) a (3) b (4) c (5) a (6) d (7) c (8) a
二、填空题。
三、解答题。
15)分析：化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换．
16)分析：被积函数展开，利用二重积分的对称性．
解：显然d关于x轴对称，且d=d1∪d2，其中。
评注：二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容．
17)分析：本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法。
评注：求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。
18)分析：对(ⅰ)比较被积函数的大小，对(ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限．
评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
19)分析：需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。
证明：(ⅰ因f(x)在闭区间[0，2]上连续，由积分中值定理得，至少存在一点η∈(0，2)，使得。
又f(x)在闭区间[2，3]上连续，从而介于f(x)在[2，3]上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点γ∈[2，3]，使得。
f(y)=f(0)．
因此f(x)在区间[0，η]上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点ζ1∈(0，η)2∈(η有 f'(ζ1)=f'(ζ2)=0，由f(x)在[0o，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，知f'(x)在[ζ1，ζ2]上连续，在(ζ1，ζ2)可导，用罗尔中值定理，至少存在一点ζ∈(1，ζ2)(0，3)，使得f''(0．
评注：一般地有如下结论：设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，(i=1，2，…，n)，20)分析：
本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．
解：(ⅰ解法一
由线性方程组ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．
解法二由线性方程组ax=b有2个不同的解，知r(a)=r(a|b)＜3，因此方程组的系数行列式。
得λ=1或-1；而当λ=1时，r(a)=1≠r(a|b)=2，此时，ax=b无解，所以λ=-1．
由r(a)=r(a|b)得a=-2．
ⅱ)当λ=-1，a=-2时，故方程组ax=b的通解为，k为任意常数．
21)分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由a可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出q．
得a的特征值为 λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为。
由(-4e-a)x=0得对应于λ2=-4的特征向量为α2=(-1，0，1)t。
南(5e-a)x=0得对应于λ3=5的特征向量为α3=(1，-1，1)t．
因a为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令。
22)分析：本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度．
解：由联合概率密度的性质有。
23)分析：本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征，第一问实际上为古典概率问题解：(ⅰ易知x的所有可能取值为0，1，y的所有可能取值为o，1，2．表示取到i个红球，j个白球．由古典概型得。
故二维随机变量(x，y)的概率分布为。
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