行程综合（一）
专题知识点概述】
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题。在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：
1）速度×时间=路程可简记为：s = vt
2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v
3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t
授课批注】解行程问题得抓住不变量或相等量，最常见的相等量是时间相等。相遇、追及、钟表等等绝大部分行程问题都是建立在等时性下的运算，特别是用比例解行程问题更是如此。
一、相遇问题。
假设甲乙分别从a,b两地出发相向而行，速度分别为，a,b两地相距s,甲乙经过时间t后相遇，那么我们可以明显的看出，在时间t内，甲乙共同走了一个a,b全长，即甲乙的路程之和为s.
那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t内所走的路程：
， 那么路程的和。
所以我们得到了相遇问题中最重要的结论。
速度和×相遇时间=路程和。
二、追击问题。
与相遇问题类似的一个问题便是追击问题。
假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米。
由，由此我们可以得到追击问题的一个重要结论：
速度差×追及时间=路程差。
三、多人多次相遇追击问题。
多人相遇与追击问题往往是将几个“两人之间的相遇与追击问题”结合在了一起，这就首先要求同学们对前一讲中的两人相遇与追击问题的知识方法和分析技巧掌握的扎扎实实。在这个基础之上，，并且往往我们需要做的线段图不止一个。
多次相遇与追击涉及到两类行程路线，即直线型与环线型．对于这两种基本路线与方向中第n次相遇（追上）时路程s的关系，归纳如下：
重点难点解析】
1．行程三要素的理解和应用。
2．相遇和追击问题。
3．多人多次相遇追击问题。
竞赛考点挖掘】
1．行程三要素理解和应用。
2．多人多次相遇和追击。
习题精讲】例1】（难度等级 ※）
甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地．前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米．问他走后一半路程用了多少分钟？
分析与解】
如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟70米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+70)÷2=75米．这是因为一分钟80米，一分钟70米，两分钟一共150米，平均每分钟75米．而每分钟走80米的时间与每分钟走70米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟75米．
例2】（难度等级 ※）
甲、乙两辆汽车分别从 a、b 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 b 地出发，乙车出发5 小时后两车还相距15千米．甲车每小时行 48千米，乙车每小时行 50千米．求 a、 b 两地间相距多少千米？
分析与解】
在整个过程中，甲车行驶了 3＋5= 8(小时)，行驶的路程为：48× 8 =384(千米)；乙车行驶了 5 小时，行驶的路程为： 50 ×5 =250(千米)，此时两车还相距15 千米，所以 a 、 b 两地间相距：
384＋250＋15 =649(千米)．
例3】（难度等级 ※※
甲、乙两人分别以每小时 6 千米和每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是 10 千米时，他们走了几小时？
分析与解】本题有两种情况，一种是甲、乙两人还未相遇过，此时两人一共走30－10 =20(千米)，另一种是甲、乙两人相遇过后继续向前走到相距 10 千米，一共走30＋10=40(千米)，所以有两种答案： (30－10)÷(6＋4)= 2(小时)；或 (30＋10)÷(6＋4)=4(小时)．
例4】（难度等级 ※）
甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过___小时___分的时候两人相遇．
分析与解】经过 2 小时 15 分钟的时候，甲实际行了 2 小时，行了 4×2=8千米，乙则行了千米，两人还相距 35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行 0.
8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇．
例5】（难度等级 ※※
甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。
分析与解】
因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。
以甲为研究对象，甲以原速v 跑了 24 秒的路程与以（v +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24v +24（v +2 ）=400 易得v =米/秒
例6】（难度等级 ※※
小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 a 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 a 处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米？
分析与解】
因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）×18=2196（米） ．
例7】（难度等级 ※※
甲、乙两车分别从 a、b 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 c 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 a、b 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 c 点 12 千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 a、b 两地同时出发相向而行，则相遇地点距c 点 16 千米。甲车原来每小时向多少千米？
分析与解】设乙增加速度后，两车在 d 处相遇，所用时间为 t 小时。甲增加速度后，两车在 e 处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。
于是，甲、乙不增加速度时，经 t 小时分别到达 d、e。de＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 d 或 e 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，t 小时走过 28 千米，从而 t＝28÷5＝小时，甲用 6－＝（小时），走过 12 千米，所以甲原来每小时行 12÷＝30（千米）
例8】（难度等级 ※※
甲、乙二人分别从 a、b 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 c 点。如果甲速。
度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 a、b 两地同时出发相向而行，则相遇点 d 距 c 点 lo 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 a、b 两地同时出发相向而行，则相遇点 e距 c 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
分析与解】当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行 20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时，甲可以走到 c 点，乙可以走到 c 点前面 20 千米。而相遇点 d 距 c 点 lo 千米，因此两人各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。
(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时 11 千米。
例9】（难度等级 ※※
在 400 米的环行跑道上，a，b 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 a，b 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。
那么甲追上乙需要时间是多少秒？
分析与解】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。
例10】（难度等级 ※※
甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从 a 地出发到 b 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。
分析与解】
甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为 72 千米／时，所以卡车速度为 72-40=32 千米／时。
例11】（难度等级 ※※
甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
分析与解】
甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。
甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
例12】（难度等级 ※※
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