南通市数学学科基地命题。
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1． 已知集合，，则 ▲
2． 已知复数满足（为虚数单位），则的值为 ▲
3． 已知样本数据的均值，则样本数据。
的均值为 ▲
4． 执行如图所示的伪**，则输出的结果为 ▲
5． 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数，取出的恰好都为偶数的概率为 ▲
6． 已知等差数列满足，．则数列第10项 ▲
7． 如图，四棱锥p－abcd中，⊥底面，底面是。
矩形，，，点e为棱cd上一点，若三棱锥e－pab
的体积为4，则的长为 ▲
8． 函数，的值域为 ▲
9． 如果函数的图象关于点中心对称，则的最小值为 ▲
10．在平面直角坐标系中，已知，，若为直角三角形，则。
实数的值为 ▲
11．若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为 ▲
12．已知正数满足，则的最小值为 ▲
13．已知点，点，点在直线上，若满足等式。
的点有两个，则实数的取值范围是 ▲
14．设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则实数。
的取值范围是 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
15．（本小题满分14分）
在△abc中，．
1）若，，求；
2）若，求．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面， ,为棱上一点。
1）设为与的交点， 若， 求证：平面；
2）若， 求证： ．
17．(本小题满分14分）
南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于的近似函数的关系为。
1）该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以表示第月份。
），问一年内哪几个月是衰退期？
2）求一年内该地区冰川的最大体积．
18．(本小题满分14分）
已知圆与椭圆相交于点，且椭圆的离心率为。
1）求值和椭圆的方程；
2）过点的直线另交圆和椭圆分别于两点．
若，求直线的方程；
设直线的斜率为，直线的斜率为，问：是否为定值，如果是，求出定值； 如果不是，请说明理由．
19．(本小题满分16分）
设函数其中是实数．
1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
2）若函数有极大值点和极小值点，且恒成立，求实数的。
取值范围．20．(本小题满分16分）
已知数列各项均为正数，，且对恒成立，记数列的。
前项和为。（1）证明：数列为等比数列；
（2）若存在正实数，使得数列为等比数列，求数列的通项公式．
第卷（附加题，共40分）
21.【选做题】本题包括a, b,c,d四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。
a，（选修4-1；几何证明选讲）
如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．
b．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵，向量，计算．
c．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标．
d．（选修4-5：不等式选讲）已知，， 其中是自然对数的底数)，求证：．
选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分。
22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局。
比赛中小明获胜的概率为．
1)求第三局结束后小明获胜的概率；
2)设比赛的局数为x，求x的分布列及数学期望e(x)．
23．设，，其中．
1）当时，求的值；
2）对，证明：恒为定值．
2023年高考模拟试卷(3)参***。
一、填空题。
9.. 由题意可知当时，，即有，解得，化简得，所以的最小值为。
10.5. 为直角，有，即有，所以；代入坐标得，所以。
11. 12.. 因为为正数， 根据基本不等式有，化简得，即有，当且仅当时，即时，取“=”
13..设，则，，根据，带入坐标化简有。由题意圆：圆与直线相交，圆心到直线的距离，所以。
当，函数有最大值，此时，解得，又因为，所以；
当，函数有最大值2，此时解得，又，所以。
当，函数无最大值，因为取不到，所以。
即解得或。又因为，所以；
综上所述，的取值范围是。
二、解答题
15．（1）因为在中，,，
由余弦定理得，得，即
解之得，（舍去。
2），得，
又，所以．
16．（1）在与中，因为， 所以，又因为，所以在中，有，则。
又因为平面，平面，所以平面．
2）因为平面，平面， 所以。
又因为，平面，平面，所以平面，平面，所以
17. (1)当时，化简得 ，解得或，
又，故或，当时，解得，又，故．
综上得，或．
所以衰退期为1月，2月，3月，4月， 9月，10月，11月，12月共8个月．
2)由(1)知：的最大值只能在内取到．
由。令，解得或(舍去)．
当变化时，与的变化情况如下表：
由上表，在t＝6时取得最大值 (亿立方米)．
故该冰川的最大体积为136亿立方米．
18．（1）因为圆与椭圆相交于点。
所以。 又离心率为，所以。
所以椭圆．
2）因为过点的直线另交圆和椭圆分别于两点，所以设直线的方程。
为，由得，所以，同理得到， 所以，因为， 则则。
因为，所以，即直线的方程为。
根据， ，所以为定值。
19．（1）因为，则，因为在上单调递增，所以恒成立，当时，恒成立，当时，恒成立，故应，即．
2）由（1）知当时，在上单调递增，不符题意，所以有．
此时，当时，，单调递增，当时，，令，得，所以在上恒成立，在上单调递减，在恒成立，在上单调递增。所以，即符合题意。
由恒成立，可得对任意恒成立，设，求导，得，1 当时，恒成立，在单调递增，又因为，与矛盾；
当时，在上恒成立，在单调递减，又因为，所以此时恒成立，符合题意；
当时，令在上的解集为，即在上单调递增，又因为，所以不符题意；
综上，实数的取值范围为．
20．（1）证明：由，可知，所以，当时，即数列是以3为首项，为公比的等比数列．
2）法一， 由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时，．故当时，．
又因为为等比数列，故有，对恒成立，所以和对恒成立，即。
对恒成立，解得，，
此时也成立。
所以，， 即得到．
法二，由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时， 要使得为等比数列必有为等比数列，即有成立。
故当时，．要使得为等比数列必有为等比数列，即有成立。
联立得以下同解法一。
法三，由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时，．故当时，．
要使得为等比数列必有和。
解得，通过验证时，为等比数列。 以下同解法一。
第卷（附加题，共40分）
连接，因为为圆的直径， 所以。
又，则四点共圆，又～，即。
b．因为，由，得或．
当时，对应的一个特征向量为；
当时，对应的一个特征向量为．
设，解得，所以。
c．因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为，
又因为曲线的参数方程为。
所以曲线的普通方程为，
联立解方程组。
解得或（舍去）
所以点的直角坐标为。
d．，要证，
只要证 只要证， 构造函数。
在区间恒成立，所以函数在上是单调递减，
所以当时，有即，得证。
22．(1) 记“第三局结束后小明获胜”为事件，
则。(2) 由题意可知的所有可能取值为3，4，5．
所以比赛局数的分布列为。
所以比赛局数的数学期望是。
23．（1）当时，又，显然。
即，由累乘，易求得，又，所以．
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