1. 求下列函数极限（find the limits of the following functions）
1）syms x
> limit(sin(x)/x,x,0)
ans =1
2）syms x
> limit((1+1/x)^x,x,inf)
ans =exp(1)
3）syms x a;
> limit((1+a/x)^x,x,inf)
ans =exp(a)
4）syms x;
> limit((1+1/x)^x,x,-inf)
ans =exp(1)
5）syms x;
> limit(((1-cos(x))/x^2),x,0)
ans =1/2
6）syms n;
> limit(n^(1/n),n,inf)
ans =1
7）syms x;
> limit((cos(sqrt(x)))pi/x),x,0,'right')
ans =1/exp(pi/2)
2.求下列函数的导数或偏导数( find the derivatives of the following functions)
(3)find the 3rd derivative of f(x).
4) )find
5)find.
1）syms x a b c;
> diff(sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
ans =(b + 2*a*x)/(2*(a*x^2 + b*x + c)^(1/2))
syms x;
> diff(sqrt(exp(x^2)+x*sin(x)),x)
ans =(sin(x) +2*x*exp(x^2) +x*cos(x))/2*(exp(x^2) +x*sin(x))^1/2))
2）syms x;
> diff(log(x^3),x)
ans =3/x
3）syms x;
> diff(x*exp(-x^2),x,3)
ans =(24*x^2)/exp(x^2) -6/exp(x^2) -8*x^4)/exp(x^2)
4）syms x y;
> diff(x^3-2*x^2*y^2+3*y-5,x,2)
ans =6*x - 4*y^2
5) syms x y;
> diff(diff(x^3-2*x^2*y^2+3*y-5,x),y)
ans =-8*x*y
3. 求下列函数的不定积分或定积分（find indefinite integrals or definite integrals of the functions）
syms x;
> int(sin(x)-2*cos(3*x)+1/x+exp(-x),x)
ans =log(x) -2*sin(3*x))/3 - cos(x) -1/exp(x)
syms x;
> int(exp(x)*sin(exp(x)),x)
ans =-cos(exp(x))
syms x;
int(x^2/(sqrt(x^6+4)),x)
ans =int(x^2/(x^6 + 4)^(1/2),
结论此积分不可积。
syms x;
int((cos(3*x))*cos(5*x)),x)
ans =sin(2*x)/4 + sin(8*x)/16
syms x a;
int((sqrt(x^2-a^2))/x,x)
ans =(x^2 - a^2)^(1/2) -log(((a^2)^(1/2) +x^2 - a^2)^(1/2))/x)*(a^2)^(1/2)
syms x a b;
int(exp(a*x)*sin(b*x),x)
ans =-exp(a*x)*(b*cos(b*x) -a*sin(b*x)))a^2 + b^2)
syms x;
int((sqrt(sin(x)-(sin(x))^3))/x,x,0,pi)
warning: explicit integral could not be found.
ans =int((sin(x) -sin(x)^3)^(1/2)/x, x = 0..pi) (8)
4. 解下列方程（solve the equations.）
1）syms x;
y=solve('sqrt(1-x^2)-x=0',x)
y =2^(1/2)/2
2) syms x y z;
f1=('x+y+z=10');
f2=('x-y+z=0');
f3=('2*x-y-z=-4');
x y z]=solve(f1,f2,f3,x,y,z)
x =2 y =5 z =3
3) syms x y z;
f1=('x^2+4*x*y+z=0');
f2=('x+3*x*y-3=0');
f3=('y+sin(z)=0');
x y z]=solve(f1,f2,f3,x,y,z)
5. 求解下列常微分方程 (solve the following ordinary differential equations.)
1）y=dsolve('x*dy=y*log(x*y)-y','x')
y =1/x
exp(exp(c8 + log(x)))x
2）y2=dsolve('dv+2*t=0','v(1)=5','t')
y2 =6 - t^2
3）y2=dsolve('d2y-(a+b)*dy+a*b*y','x')
y2 =c19*exp(a*x) +c20*exp(b*x)
6. 用matlab验证(use maltab to prove the following identities)
1）solve('sin(x)^2+cos(x)^2=1')
ans =c_
2）solve('sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)')
ans =c_
1）分别用数字和符号两种方法，编程计算100! 结果有何不同？那个计算得快？
2）用符号方法，编程计算100!，结果为多大数量级？能用数值方法计算吗？
s1=1;s2=1;n=100;tic;for i=1:n s1=s1*i；end toc;
tic;for i=1:n b=sym(i);s2=s2*b;end toc;
数值运算更快。
2）s1=1;s2=1;n=200;ticfor i=1:n s1=s1*i；end toc;
tic;for i=1:n b=sym(i);s2=s2*b;end toc;
结论：不能用数值计算。
8. 求矩阵的行列式、逆和特征值。
syms a;
a=[1 2;2 a];
b=det(a);
c=inv(a);
d e]=eig(a);
9. 计算。
1)>>syms k n;
> symsum(k^2,k,1,n)
ans =n*(2*n + 1)*(n + 1))/6
2) >syms k;symsum(1/(k^2),k,1,inf)
ans =
pi^2/6
3) >syms n x;
> symsum(1/((2*n+1)*(2*x+1)^(2*n+1)),n,0,inf)
体会：经过本次试验是我基本上能区别数值运算和符号运算，知道了它们之间的联系和各自的优点和不足，符号运算的引进就是为了提高运算精度和运算范围。
数学实验报告
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