2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)
一、选择题 ( 本大题共 10 题， 共计 50 分)
1、(5分)
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
a．2 b．－2 c． d．
2、(5分)
集合u＝，s＝，t＝，则s∩()等于( )
a． b．c． d．
3、(5分)
双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
a．2 b． c．4 d．
4、(5分)
若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
a．－1 b．1 c．3 d．－3
5、(5分)
若点(a，b)在y＝lg x图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是( )
a．(，b) b．(10a，1－b)
c．(，b＋1) d．(a2，2b)
6、(5分)
设变量x，y满足则的最大值和最小值分别为( )
a．1，－1 b．2，－2
c．1，－2 d．2，－1
7、(5分)
若数列的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(
a．15 b．12 c．－12 d．－15
8、(5分)
一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
a．48 b．
c． d．80
9、(5分)
从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
a． b． c． d．
10、(5分)
函数f(x)＝axn(1－x)2在区间[0，1]上的图像如图所示，则n可能是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
二、填空题 ( 本大题共 5 题， 共计 25 分)
1、(5分)
设f(x)是定义在r上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1
2、(5分)
如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是。
3、(5分)
函数的定义域是。
4、(5分)
已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为。
5、(5分)
设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈r，ab≠0.若对一切x∈r恒成立，则
f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
f(x)的单调递增区间是。
存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交。
以上结论正确的是写出所有正确结论的编号)．
三、解答题 ( 本大题共 6 题， 共计 75 分)
1、(13分)
在△abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(b＋c)＝0，求边bc上的高．
2、(13分)
设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
1）证明l1与l2相交；
2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
3、(13分)
设，其中a为正实数．
1）当时，求f(x)的极值点；
2）若f(x)为r上的单调函数，求a的取值范围．
4、(13分)
如图，abedfc为多面体，平面abed与平面acfd垂直，点o**段ad上，oa＝1，od＝2，△oab，△oac，△ode，△odf都是正三角形．
1）证明直线bc∥ef；
2）求棱锥fobed的体积．
5、(10分)
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝bx＋a；
2）利用（1）中所求出的直线方程**该地2023年的粮食需求量．
6、(13分)
在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作tn，再令an＝lg tn，n≥1.
1）求数列的通项公式；
2）设bn＝tan an·tan an＋1，求数列的前n项和sn.
一、选择题 ( 本大题共 10 题， 共计 50 分)
1、(5分)
a 为纯虚数，∴.a＝2.
2、(5分)
b u＝，t＝．
＝，s∩()
3、(5分)
c 2x2－y2＝8化为标准形式：，a2＝4.∴a＝2.∴实轴长2a＝4.
4、(5分)
b 圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程：
x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1，2)．
直线过圆心，∴将(－1，2)代入直线3x＋y＋a＝0可得a＝1.
5、(5分)
d (a，b)在y＝lg x图像上，∴b＝lg a，∴2b＝2lg a＝lg a2.
(a2，2b)也在此图像上．
6、(5分)
b 由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则，设l0：，平移l0，可知过a点时zmax＝0＋2×1＝2，过b点时zmin＝0＋2×(－1)＝－2.
7、(5分)
a an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(7＋10)＋…25＋28)＝3×5＝15.
8、(5分)
c 由该几何体的三视图得出直观图如图所示，sabcd＝4×4＝16，四边形add1a1与四边形bcc1b1为全等的梯形，面积均为，四边形abb1a1与四边形cdd1c1均为矩形，其中，面积均为：.
该几何体的全面积为。
9、(5分)
d 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为：.选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如ab与de)，共有3种，故概率为。
10、(5分)
a f′(x)＝a(xn)′(1－x)2＋axn[(1－x)2]′＝anxn－1·(1－x)2－2axn(1－x)，当n＝1时，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1或，可满足题意．
二、填空题 ( 本大题共 5 题， 共计 25 分)
1、(5分) －3
解析：∵f(x)是定义在r上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x.
f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2－(－1)]＝3.
2、(5分) 15
解析：由题意可得t为求1＋2＋3＋…＋k的值．
对于，k＝14或k＝－15(舍)．
输出的结果为：14＋1＝15.
3、(5分) (3，2)
解析：，要使6－x－x2＞0，则x2＋x－6＜0，－3＜x＜2，∴函数的定义域为(－3，2)．
4、(5分)
解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，∴a2＋a·b－2b2＝－6.
1＋a·b－2×4＝－6.∴a·b＝1.
.∴〈a，b〉＝.
5、(5分) ①
解析：∵f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，又对于x∈r恒成立，，即：.，故①正确．，故②不正确．
对于f(x)＝2bsin(2x＋)，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．
对于④，b的正负未知，所以④不正确．
对于⑤，当直线过点(a，b)垂直于y轴时，因为f(x)值域为[－2|b|，2|b|]，显然与f(x)图像相交；当直线垂直于x轴时，也与f(x)图像相交；当直线倾斜时，结合正弦型函数图像，显然直线与f(x)的图像相交，故⑤不正确．
三、解答题 ( 本大题共 6 题， 共计 75 分)
1、(13分) 解：由1＋2cos(b＋c)＝0和b＋c＝π－a，得。
再由正弦定理，得。
由b＜a知b＜a，所以b不是最大角，，从而。
由上述结果知。
设边bc上的高为h，则有。
2、(13分) 证明：（1）反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得，此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．
2）(方法一)由方程组。
解得交点p的坐标(x，y)为。
而。此即表明交点p(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
方法二)交点p的坐标(x，y)满足。
整理后，得2x2＋y2＝1.所以交点p在椭圆。
3、(13分) 解：对f(x)求导得。①
1）当时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得。
结合①，可知。
所以，是极小值点，是极大值点．
2）若f(x)为r上的单调函数，则f′(x)在r上不变号．
结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在r上恒成立，因此δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.
4、(13分)
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