安徽省六校教育研究会。
2012届高三测试（2012.1）
数学试题（理科）
注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2. 考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。
第i卷 (选择题共50分)
一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）
1.已知集合，则等于（ ）
ab． cd．
2.已知为虚数单位，且，则的值为（ ）
a．4 b． c． d．
3.不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）
a． b． c． d．
4.在的展开式中系数最大的项是（ ）
a．第项 b．第项 c．第项 d．第6项。
5．已知数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，则（ ）
a. 1b. -1cd.
6．已知， 由。
如右程序框图输出的( )
abcd.
第6题图）7.已知函数，集合，集合，则在平面直角坐标系内集合所表示的区域的面积是（ ）
abcd.
8．若点和都在直线上，则（ ）
a． 点和都在上 b.点和都不在上。
c．点在上且点不在上 d.点不在上且点在上。
9．已知椭圆的左焦点，o为坐标原点，点p在椭圆上，点q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为（ ）
abcd.
10．棱长均为1三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为( )
abcd.
第ii卷 (非选择题共100分)
二。填空题（本大题共5小题，每小题5分）
11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为。
第11题图）
12．在极坐标系下为曲线上任意一点，点的极坐标为，则的最小值是。
13．已知对于任意实数，我们有正弦恒等式，也有余弦恒等式，类比以上结论对于使正切有意义的，我们推理得关于正切恒等式为。
14．设函数，若，则函数的各极大值之和为。
15．下列命题中正确命题的序号为。
①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
②已知平面，直线和直线，且，则；
③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
三棱锥的四个面可以都是直角三角形。
三．解答题（本大题共6小题）
16．（本题满分12分）已知函数的最小正周期为。
(1)求正数的值；
2)在锐角中，分别是角的对边，若的面积为求的值。
17．（本题满分12分）在本次安徽“6+2”联谊学校联考中数学科试卷共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，考生答对得5分，不答或答错得0分。某考生每道题都给出一个答案，且已确定其中有7道题的答案是正确的，而其余题中有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜。试求该考生：
1）选择题得50分的概率；
2）选择题所得分数的数学期望。
18.（本题满分13分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱，四边形是菱形，其中为的中点。
1) 求证。
2) 求面所成锐二面角的余弦值；
3）求四棱锥与的公共部分体积。
19.(本题满分12分) 已知函数，，且函数在上单调递减。
1）若在上恒成立，求的取值范围；
2）若关于的方程在区间上有两个根（为自然对数的底数），试求的取值范围 。
20.（本题满分13分）设、是椭圆上的两点，为坐标原点，向量且。
1) 若点坐标为，求点的坐标；
2) 设，证明点在椭圆上；
3) 若点、为椭圆上的两点，且，试问：线段能否被直线平分？若能平分，**以证明；若不能平分，请说明理由。
21．（本题满分13分）已知数列满足，，当取不同的值时，得到不同的数列。如当时，得到无穷数列：。当时，得到有穷数列：。
1）求当为何值时；
2）设数列满足，，求证：取数列中的任一项，都可以得到一个有穷数列；
3）若，求的取值范围。
安徽省六校教育研究会2011届高三测试数学（理科）参***。
说明：一、本解答给出了一种或两种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题。二填空题。
三解答题。16.解：(1)由题意得。
又并，得6分。
（2）由（1）得。
由且为锐角得，又且。
得9分。在三角形中由得12分。
17.解（1）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为50分的概率为5分。
2）依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，506分。
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，所以概率为。
得分为40分的概率为：
同理求得得分为45分的概率为。
得分为50分的概率为10分。
所以得分的分布列为：
数学期望12分。
18(1)证明如图取的中点为，连af,c’f,易得afc’f为。
平行四边形。,又。
4分。2）解因为菱形，且，取bc中点。
为g易得ad， dg，dd’ 相互垂直，故分别。
以之为x,y,z轴建立坐标系如图。由棱长为2得。
进而得面的一个法向量为，又面abd的法向量为（0，0，1）
所以面所成锐二面角的余弦值。
另：不建系证得即为二面角的平面角，再由线段长算得值亦可给分。……9分。
3）设b’d与bd的交点为o ,由图得四棱锥与的公共部分为四棱锥o-abcd,且o到下底面的距离为1，
所以公共部分的体积为13分。
19. 解：（1） 由题意得，所以，因在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立， 得。 …3分。
因在上单调递减，所以。
又在上恒成立，故只需恒成立。
所以，又，所以，故…… 6分。
2）由（1）知，所以方程为，设，则方程根的个数即为函数的图象与x轴交点个数，因，
当时，，所以在上为增函数，当时，
所以在和上为减函数，所以在上为增函数， 在上为减函数，故在的最大值为9分。
又，，方程有两根满足：，
得 ，即当时，原方程有两解12分。
20. 解：（1）将代入()·0，得(1，0)·(0，所以 x2=0，y2=±b，即点b的坐标为(0，±b2分。
2）因()·0，所以，
又因，在椭圆上，所以，
把点坐标代入椭圆方程左边得：
所以点在椭圆上8分。
3）解法一设点，则。
且， 所以。故有 即。
又∥，而，得 (a)
又由，得b)
所以由(a) (b)得，即。
故线段pq被直线oa平分13分。
解法二若ob⊥x轴，则oa在x轴上，由∥，pq⊥x轴，由椭圆的对称性知，线段pq被直线oa平分；
若∥x轴，同理可证线段pq被直线oa平分； …10分。
若不与x轴垂直或平行，设直线pq的方程为，这里，且设点p(m1，n1)，q(m2，n2)，联立方程消去y，得。
所以=，即=， c）
所以d)由（c）(d)得中点在直线上，又，故有，即点也在直线上，直线与直线重合）
故中点在直线yx上。
故线段pq被直线oa平分13分。
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说明 1 双删除线表示删去文字 例如 红色的文字表示新添加的。3 限于本人的水平，不足之处，望大家修改，完善。希望大家共同研究，共同提高。二 考试范围内容和要求。一 集合。1.集合的含义与表示。1 了解集合的含义，元素与集合的属于关系。2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的...