2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)
一、解答题 ( 本大题共 6 题， 共计 75 分)
1、(12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：
当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
1）当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
2、(13分)
设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2.其中x∈r，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
1）求a、b的值，并写出切线l的方程；
2）若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．
3、(14分)
平面内与两定点a1(－a,0)、a2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上a1，a2两点所成的曲线c可以是圆、椭圆或双曲线．
1）求曲线c的方程，并讨论c的形状与m值的关系．
2）当m＝－1时，对应的曲线为c1；对给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞对应的曲线为c2，设f1、f2是c2的两个焦点．试问：在c1上，是否存在点n，使得△f1nf2的面积s＝|m|a2.若存在，求tanf1nf2的值；若不存在，请说明理由．
4、(12分)
设△abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，.
1）求△abc的周长；
2）求cos(a－c)的值．
5、(12分)
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的b3、b4、b5.
1）求数列的通项公式；
2）数列的前n项和为sn，求证：数列是等比数列．
6、(12分)
如图，已知正三棱柱abc—a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱aa1上，点f在侧棱bb1上，且，.
1）求证：cf⊥c1e；
2）求二面角e—cf—c1的大小．
二、选择题 ( 本大题共 10 题， 共计 50 分)
1、(5分)
已知u＝，a＝，b＝，则？u(a∪b)＝(
a． b．c． d．
2、(5分)
若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
a． b． c． d．
3、(5分)
若定义在r上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(
a．ex－e－x b．
c． d．4、(5分)
将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
a．n＝0 b．n＝1
c．n＝2 d．n≥3
5、(5分)
有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
a．18 b．36 c．54 d．72
6、(5分)
已知函数，x∈r，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )a．b．
c．d．
7、(5分)
设球的体积为v1，它的内接正方体的体积为v2，下列说法中最合适的是( )
a．v1比v2大约多一半。
b．v1比v2大约多两倍半。
c．v1比v2大约多一倍。
d．v1比v2大约多一倍半。
8、(5分)
直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
a．0个 b．1个。
c．2个 d．无数个。
9、(5分)
九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
a．1升 b．升 c．升 d．升。
10、(5分)
若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )
a．必要而不充分的条件
b．充分而不必要的条件。
c．充要条件
d．既不充分也不必要的条件。
三、填空题 ( 本大题共 5 题， 共计 25 分)
1、(5分)
某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市___家．
2、(5分)
的展开式中含x15的项的系数为结果用数值表示)
3、(5分)
在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为结果用最简分数表示)
4、(5分)
过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为___
5、(5分)
里氏震级m的计算公式为：m＝lg a－lg a0，其中a是测震仪记录的**曲线的最大振幅，a0是相应的标准**的振幅．假设在一次**中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准**的振幅为0.001，则此次**的震级为___级；9级**的最大振幅是5级**最大振幅的___倍．
一、解答题 ( 本大题共 6 题， 共计 75 分)
1、(12分) 解：（1）由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
再由已知得，解得。
故函数v(x)的表达式为。
2）依题意并由(1)可得。
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值。
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
2、(13分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.
由此得，解得，所以a＝－2，b＝5，切线l的方程为x－y－2＝0.
2）由（1）得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以δ＝9－4(2－m)＞0，即。
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)成立，特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1＜－m成立，得m＜0.
由韦达定理，可得x1＋x2－3＞0，x1x2＝2－m＞0，故0＜x1＜x2.
对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x＞0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0，又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]的最大值为0.
于是当m＜0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)恒成立．
综上，m的取值范围是．
3、(14分) 解：（1）设动点为m，其坐标为(x，y)．
当x≠±a时，由条件可得。
即mx2－y2＝ma2(x≠±a)．
又a1(－a,0)、a2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线c的方程为mx2－y2＝ma2.
当m<－1时，曲线c的方程为，c是焦点在y轴上的椭圆；
当m＝－1时，曲线c的方程为x2＋y2＝a2，c是圆心在原点的圆；
当－1当m>0时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的双曲线．
2）由(1)知，当m＝－1时，c1的方程为x2＋y2＝a2；
当m∈(－1,0)∪(0，＋∞时，c2的两个焦点分别为f1，f2．
对于给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞c1上存在点n(x0，y0)(y0≠0)使得s＝|m|a2的充要条件是。
由①得0<|y0|≤a，由②得。
当，即，或时，存在点n，使s＝|m|a2；
当，即，或时，不存在满足条件的点n.
当时，由，，可得。
令，，∠f1nf2＝θ.
则由，可得，从而，于是由s＝|m|a2，可得，即。
综上可得：当时，在c1上，存在点n，使得s＝|m|a2，且tanf1nf2＝2；
当时，在c1上，存在点n，使得s＝|m|a2，且tanf1nf2＝－2；
当时，在c1上，不存在满足条件的点n.
4、(12分) 解：（1）∵，c＝2.
△abc的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
a∴.5、(12分) 解：（1）设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d，依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得。
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