2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)
一、选择题 ( 本大题共 1 题， 共计 5 分)
1、(5分)
设f(x)，g(x)，h(x)是r上的任意实值函数，如下定义两个函数()(x)和(f·g)(x)：对任意x∈r，()x)＝f(g(x))；f·g)(x)＝f(x)g(x)．则下列恒等式成立的是…(
二、填空题 ( 本大题共 5 题， 共计 25 分)
1、(5分)
已知是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q
2、(5分)
设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a
3、(5分)
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为用线性回归分析法的方法，**小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为。
4、(5分)
坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ＜和 (t∈r)，它们的交点坐标为___
5、(5分)
几何证明选讲选做题)如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝4，cd＝2，e，f分别为ad，bc上点，且ef＝3，ef∥ab，则梯形abfe与梯形efcd的面积比为。
三、解答题 ( 本大题共 1 题， 共计 12 分)
1、(12分)
已知函数，x∈r.
1）求f(0)的值；
2）设α，β0，]，求sin(α＋的值．
四、选择题 ( 本大题共 9 题， 共计 45 分)
1、(5分)
设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
a．－i b．i c．－1 d．1
2、(5分)
已知集合a＝，b＝，则a∩b的元素个数为( )
a．4 b．3 c．2 d．1
3、(5分)
已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( )
a． b． c．1 d．2
4、(5分)
函数的定义域是( )
a．(－1)
b．(1，＋∞
c．(－1，1)∪(1，＋∞
d．(－5、(5分)
不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
a．(－1)
b．(1，＋∞
c．(－1)∪(2，＋∞
d．(－1，＋∞
6、(5分)
已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定．若m(x，y)为d上的动点，点a的坐标为(，1)，则的最大值为( )
a． b． c．4 d．3
7、(5分)
正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
a．20 b．15 c．12 d．10
8、(5分)
设圆c与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则c的圆心轨迹为( )
a．抛物线 b．双曲线
c．椭圆 d．圆。
9、(5分)
如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )
a． b．4 c． d．2
五、解答题 ( 本大题共 5 题， 共计 68 分)
1、(13分)
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
2、(13分)
如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，a，a′，b，b′分别为，，，的中点，o1，o1′，o2，o2′分别为cd，c′d′，de，d′e′的中点．
1）证明：o1′，a′，o2，b四点共面；
2）设g为aa′中点，延长a′o1′到h′，使得o1′h′＝a′o1′.证明：bo2′⊥面h′b′g.
3、(14分)
设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．
4、(14分)
设b＞0，数列满足a1＝b， (n≥2)．
1）求数列的通项公式；
2）证明：对于一切正整数n，.
5、(14分)
在平面直角坐标系xoy中，直线l：x＝－2交x轴于点a，设p是l上一点，m是线段op的垂直平分线上一点，且满足∠mpo＝∠aop.
1）当点p在l上运动时，求点m的轨迹e的方程；
2）已知t(1，－1)，设h是e上动点，求|ho|＋|ht|的最小值，并给出此时点h的坐标；
3）过点t(1，－1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．
一、选择题 ( 本大题共 1 题， 共计 5 分)
1、(5分) b
二、填空题 ( 本大题共 5 题， 共计 25 分)
1、(5分) 2
解析：设的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.
a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.
又为递增数列，则q＝2.
2、(5分) －9
解析：∵f(x)＝x3cos x＋1，∴f(a)＝a3cos a＋1＝11.
－a3cos a＝－10.
f(－a)＝－a3cos(－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
3、(5分) 0.5 0.53
解析：这5天的平均投篮命中率为。
所以回归直线方程为。
当x＝6时，.
4、(5分) (1，)
解析：由两曲线参数方程消去x，y，t得。
由此得。又∵0≤θ＜解得。
故交点坐标为(1，)．
5、(5分) 7∶5
解析：在梯形abcd中，过c作cg∥ad交ab于g，ef于h.
则hf＝1，gb＝2.
又ef∥ab，即hf∥gb，.
f应为cb的中点．
ef为梯形abcd的中位线．
设梯形efcd的高为h，则梯形abcd的高为2h.
所以，s梯形abfe∶s梯形efcd＝7∶5.
三、解答题 ( 本大题共 1 题， 共计 12 分)
1、(12分) 解：（1）；
又∵α∈0，]，
又∵β∈0，]，
四、选择题 ( 本大题共 9 题， 共计 45 分)
1、(5分)
a 由iz＝1得。
2、(5分)
c 由解得或。
故a∩b＝，所以a∩b的元素个数为2.
3、(5分)
b a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，a＋λb＝(1，2)＋(0)＝(1＋λ，2)．
又∵(a＋λb)∥c，∴，解得。
4、(5分)
c 要使函数f(x)有意义，则。
解得x＞－1且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞
5、(5分)
d 由不等式2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0，所以x＞1或，故选d项．
6、(5分)
c 由画出可行域，如图阴影部分所示．
作直线l0：，平移直线l0至l1位置时，z取得最大值，此时l1过点(，2)，故。
7、(5分)
d 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．
8、(5分)
a 动圆圆心c到定点(0，3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选a项．
9、(5分)
c 根据几何体的三视图可得几何体的直观图如图所示．
此几何体是底面为菱形的四棱锥，且顶点s在底面上的射影o为底面菱形abcd的中心，
由三视图可知菱形abcd的边长为2，，bd＝2.
故s菱形abcd＝2×2sin 60°＝，棱锥的高。
五、解答题 ( 本大题共 5 题， 共计 68 分)
1、(13分) 解：（1）x6＝6×75－(70＋76＋72＋70＋72)＝90，7.
2）设这五位同学分别为a，b，c，d，e，其中只有b是不在(68，75)这个范围内的，从这五位同学中随机选2位同学，有以下情况：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种情况，而恰有一位同学成绩在区间(68，75)中的情况有(a，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共4种情况，所以恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率是。
2、(13分) 解：（1）连结o2b，依题意得o1′a′⊥c′e′，o2b⊥ce，
而cc′分别垂直于上下底面，直线o1′a′，o2b分别在上下底面内，o1′a′⊥cc′，o2b⊥cc′
又∵cc′∩c′e′＝c′，cc′∩ce＝c，o1′a′⊥面cdd′c′，o2b⊥面cdd′c′，o1′a′∥o2b，o1′，a′，o2，b四点共面．
2）连结直线ao1，并延长到点h，使ao1＝o1h，连结o1′h，hb，依题意得h′b′∥hb∥o1′o2′且o1′o2′＝hb，o1′o2′bh是一个平行四边形，∴bo2′∥ho1′
由o1′o2′⊥o1o1′，且o1′o2′⊥o1′h′，o1o1′∩o1′h′＝o1′
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