2.5 ab和ba的特征值。
对于同阶方阵a和b，ab和ba的结果不一定相等，甚至是不相似的。例如，若。
ab=那么。ab但。
ba=请注意在这个例子中，ab=0和ba≠0只有重复的特征值0，这是一种巧合吗，或者我们可以构造一个例子，令ab只有零特征而ba具有一定的非零特征值？下列的定理给出了这个问题的否定的答案。在矩阵理论这是一个非常重要的结论。
定理2.8 令a和b分别是mn和nm的复合矩阵，那么ab和ba就会有相同的非零特征值。
证明1.根据题意，得：
那么有。根据两等式右边式子相等，我们得到。
因此，当≠0的条件下当且仅当=0时有0。立刻能够得ab和ba有相同的非零特征值，包括多重特征值（通过因式分解）。
证明2.根据矩阵的相似性。考虑分块矩阵。
第二行乘以a后再加到第一行上，得。
对列做相同的运算，得。
用方程的形式写下来，有。和。有。
得到矩阵和是相似的。因此，矩阵ab和ba有相同的非零特征值。（那么ab和ba是相似的吗？）
证明3.利用参数的连续性，我们首先处理m=n的情况。如果a是奇异的，那么有
ba=a（ab）a.
因此，ab和ba是相似的并且有相同的特征值。
如果a是奇异矩阵矩阵，使存在正数使得对于任一有非奇异矩阵，.那么有和是相似的且有相同的特征多项式。因此有。
由于等式两边的都是连续函数，令有。
因此，ab和ba有相同的特征值。
当m≠n时，假设mn.分别在a的同一列和b的同一行上加上0，得到。
b是n阶方阵，那么有。
和。因此和，ab和ba有相同的特征值。
证明4.把矩阵当做一个算子，显然有若是奇异的，则也是奇异的，反之亦然。若假设，否则乘以。
若是可逆的，令，我们推断。
因此，是可逆的。这种方法没有对于非零特征值的多样性提供信息。根据（2.10），我们明白的2.2中的5个问题，对于任意mn阶a矩阵和nm阶b矩阵，有。
得当且仅当可逆时有可逆。
问题。1. 有成立，其中a和b分别是mn和nm阶矩阵，特别地，.
2. 对任意相同大小的方阵a和b，有问是否成立？
3. a和b是相同大小的方阵，有成立，问若a和b不是方阵，是否成立？
4. a和b分别为mn，nm阶复合矩阵，m5. a和b是nn阶矩阵，对任意正数k≥1有问是否成立？
6. 对任意x，y，有成立。
7. 计算行列式。
8. 如果a，b，c是三个复合的是打那个大小的矩阵，且abc，cab和bca有同一组非零特征值，abc和cba是否有相同的非零特征值？
9. 和是否有相同的非零特征值？和呢？举例说明。
10. 对任意相同大小的方阵a和b，证明和有相同的非零特征值，再证后者有零特征值，有多少个？
11. .从a的特征值中找到分块矩阵的特征值。
12. a是一个的复合矩阵，m是分块矩阵。
a） m是一个埃尔米特矩阵。
b） m的特征值是是的非零特征值的平方根，叫做a的奇异值。
c） 若a是n阶方阵，.
d） 对任意b和c，.
和b分别是mn和nm的矩阵，问ab和ba是否有相同的非零奇异值？
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