组员：杨鑫淼 04408123 数学与应用数学 151***
陈源 04408125 数学与应用数学 158***
刘龙冰 04408127 数学与应用数学 151***
第1章数学模型引论。
1.1、 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）
解：椅子的四脚连线呈长方形时，将椅子旋转180度，对角线ac与bd互换，参照课本上的思想，此时四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知和是的连续函数，对任意，，且，证明存在，使。
证：将椅子旋转180度后，对角线ac与bd互换，则。
令，由的连续性知也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在使。
因为，所以。
1.2、 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有名商人带名随从过河，船每次能渡人过河，试讨论商人们能安全过河时，与应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）
解：(1)商人安全渡河问题中，若改作四个人，渡船仍只能坐两人即，则无法安全渡河，具体分析如下（此岸商人数，此岸随从数）：
a.(4,4),(3,3),(4,3) ,4,1),(4,2),(2,2)此时船在彼岸，只能载一个商人和一个随从回来，则回到（3,3）状态，构成循环，无法渡河。
b.（4,4），（4,2），（4,3）此后与（1）相同。
除了a，b两种情况外，再无其他方法，故不能渡河。
2)n=4，k=3时，（4,4），（4,1），（4,2），（2,2），（3,3），（0,3），（0,4），（0，1），（0,2），（0,0）经历以上过程，商人和随从都渡过河。
3）n=5，k=3时，（5,5），（5,2），（5,3），（5，0），（5,2），（2,2），（3,3），（0,3），（0,4），（0,1），（0,2），（0,0）能安全渡河。
4） n=6，k=3时，a:（6,6），（6,3），（6,4），（6,1），（6,2）无法渡河。
b:（6,6），（6,3），（6,4），（6,1），（6,3），（3,3），（4,4）只能陷入循环，无法渡河。
c:（6,6），（5,5），（6,5），（4,4），（5,5），（4,4）无法渡河。
d:（6,6），（5,5），（6,5），（6,2），（6,3），（3,3），（4,4）无法渡河。
5）当k=4时，无论n为多少均能渡河，（n-2，n-2），（n-1，n-1），（n-3，n-3）,（n-2,n-2）,(n-4,n-4)……
由以上分析可知，当时无法安全渡河。
1.3、 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？
解：人、猫、鸡、米分别记为，当在此岸时记，否则记，则此岸的状态可用表示。记的反状态为，允许状态集合为。
决策为乘船方案，记作，当在船上时记，否则记，允许决策集合为。
记第次渡河前此岸的状态为，第次渡河的决策为，则状态转移律为，设计安全过河方案归结为求决策序列，使状态按状态转移律由初始状态经n步到达。一个可行方案如下：
1.4、 有3对阿拉伯夫妻过河，船至多载两人，条件是根据阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？
解：记这三队夫妻为每个括代表一对夫妻，代表丈夫，代表妻子。经思考得一可行方案如下：
1.5、 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2023年本利积累为100000元，那么在2023年应在银行存入多少元？而到2023年的本利积累为多少元？
解：设在2023年应在银行存入元，则有：
解得： 则到2023年的本利积累为元。
1.6、 某城市的logistic模型为，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市2023年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当时发生什么情况。
解：设t为所求年份距2023年的年数，则有n(0)=8000000，实际上，原题中所给方程可用分离变量方法求解出得到， 其中=8000000，则有，则有。
1.7、 假设人口增长服从这样规律：时刻的人口为，最大允许人口为，到时间内人口数量与成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
解：由题意知 ，其中为比例系数，令。
令，则有，解得 ，如下图粗线所示：
由上图知，当t充分大时，它与logistic模型相近。
1.8、 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？
解：互换长短针后仍表示同意时间，则此刻的分针和时针重合。设点分时，时针与分针重合。时针走一格转30度，分针走一格转6度，时针转0.5度，则有：
得 令从0取到11，则能得出在0点到12点之间时针与分针重合的各个时刻，然后再在各个时刻上加12，就能得出在12点到24点之间时针与分针重合的时刻，如下：
11点60分钟就是12点，23点60分钟就是零点）
1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？
解：1）a，要知道此时电梯停在哪一楼，并且是上行还是下行。
b，每上行或下行一层楼需要的时间。
c，电梯停一次的等候时间。
d，电梯在每层楼停的概率。
e，该大楼共有多少层。
f，跑步上下一层需要的时间。
可以根据以上条件建立概率模型，算出等候的平均时间。
2）假设该大楼共有12层，电梯现在位于一楼，电梯在每一层楼停的概率各为，且经过实际调查电梯停一次的等候时间为1分钟，上下一层楼的时间为10秒，而人跑步上下一层楼的时间为40秒。为了简化模型，假设只要求以最短时间进入电梯即可。
假设需要向下走层使得此人能以最短时间进入电梯，则此人需要花费的时间为秒，而电梯上升到该层所要花费的平均时间为秒。防止人错过电梯，所以两个时间要满足以下关系；
解得：，必须取整数，则 。
所以人需要爬到5楼才能以最短的时间坐到电梯。
1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来**任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？
解：1） 现在水塔的水位。
2） 降雨量和流入到水塔的河流的流量。
3） 通过河床渗透和水面蒸发流失的水的体积。
4） 居民的用水量。
第2章初等模型。
2.1、 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
2）2.1节中的q值方法。
3）d’hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
n为总席位）。
q值法：当委员会人数是10人时，先按照比例计算结果将整数部分的9个席位分配完毕；当委员会人数是15人时，先按照比例计算结果将整数部分的13个席位分配完毕。
记表示各宿舍的人数和已占有的席位（当席位增加1席时，计算。
委员会为10人时，第10个席位：
所以第10个席位分配给c宿舍。
委员会为15人时，第14个席位：
所以第14个席位分配给b宿舍。
第15个席位：
所以第15个席位分配给a宿舍。
记表示各宿舍的人数和席位（是每个席位代表的人数，取，从得到的中选取大的数，可使得对所有的，尽量接近。
03年美国数学建模A题
安全飞跃大象。摘要。本文针对确定纸箱的尺寸大小及数目问题，建立了基于能量守恒的数学模型。首先根据概率统计中的原则，确定出了纸箱所在区域的大小，然后充分利用牛顿定律，将问题简单明了化，将纸盒的受力转化为纸盒边棱受力，再进行分析纸箱吸收能量的大小时，引进一个新的定量 吸收能量密度，将纸盒吸收的能量与边棱...
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建模作业标准版
重庆交通大学。学生实验报告。实验课程名称数学建模b 开课实验室数学实验室。学院河海学院 10 级水利水电工程专业班 4班。学生姓名郑阳兵学号 10150411 开课时间 2011 至 2012 学年第 2 学期。人 猫 鸡 米安全过河问题。一 摘要。人携带猫 鸡 米过河，人最多只能带三者之一，而当人...