东乡一中2024年春季期中考试高一数学试题（理科）
供题徐庆华2012.4.12
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．在等比数列中，已知a1＝，an＝，q＝，则n为( )
a．2b．3 c．4 d．5
2．当x＞1时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是( )
a．(－2) b．[2，＋∞c．[3，＋∞d．(－3]
3．在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是( )
abcd．9
4．等差数列的前n项和为sn，若a3＋a17＝10，则s19＝(
a．190 b．95 c．170 d．85
5．关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，a的取值范围是( )
a．0＜a＜1 b．a＞1 c．0＜a≤1 d．a≥1
6．已知等差数列中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，sn是数列的前n项和，则( )
a．s5＞s6 b．s5＜s6 c．s6＝0 d．s5＝s6
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )
a．2b．4c．8d．16
8．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
ab. c. d．4
9．已知数列满足：an＝logn+1(n＋2)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈n*)叫做希望数，则区间[1,2 010]内所有希望数的和m＝(
a．2 026 b．2 036 c．2 046 d．2 048
10．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的范围是( )
a. b．[2,8] c．[2,8d．[2,7]
二．填空题（每小题5分，共25分）
11．已知数列中，，则数列通项公式。
12．等差数列的前n项和为sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，s2m－1＝38，则m
13．若三角形中有一个角为，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于。
14．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，x∈[0，π]上的图象如图，则在[－π上不等式≥0的解集是。
15．在△abc中，若∠c＝60°，则＋＝_
三．解答题（12+12+12+12+13+14）
16．（12分）已知二次函数，当时，有。
1）求和的值。
2）解不等式。
17．（12分）某公司计划2024年在甲、乙两个电视台做时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。
问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
18．（12分）在△abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，a＝，(1＋)c＝2b.
1)求c；2)若·＝1＋，求a、b、c.
19．（12分）在△abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且2sin2－cos2a＝.
1)求角a的度数；
2)若a＝，b＋c＝3(b＞c)，求b和c的值。
20．（13分）已知数列中，a1＝，且2an＋1－an＝n，其中n＝1,2,3，….若bn＝an＋1－an－1，1)求证：数列是等比数列；
2)求数列的通项an.
21．（14分）已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上一点，等比数列的前n项和为f(n)－c，数列(bn＞0)的首项为c，且前n项和sn满足sn－sn－1＝＋(n≥2)．
1)求数列和的通项公式．
2)若数列{}前n项和为tn，问：tn＞的最小正整数n是多少？
东乡一中2024年春季期中考试高一数学试题（理科）
1.解析：等比数列中，a1＝，an＝，q＝，an＝a1qn－1＝n－1＝，n－1＝3，n－1＝3，n＝4.
答案：c2解析：a≤x＋，由x＋＝x－1＋＋1≥3，得x＋的最小值为3.
答案：d3解析：设中间两数为x，y，则x2＝3y,2y＝x＋9；解得所以x＋y＝.
答案：a4解析：s19＝＝＝95.
答案：b5解析：∵|x－3|＋|x－4|≥|x－3)－(x－4)|＝1，(|x－3|＋|x－4|)min＝1.
当a≤1时，|x－3|＋|x－4|＜a的解集为，所以a＞1.
答案：b6解析：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3＋a9＝0，∴a6＝0，a5＞0，a7＜0，∴s5＝s6.
答案：d7解析：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有s偶＝q·s奇，∴q＝＝2；
又s2n＝s偶＋s奇＝＝85＋170，∴22n－1＝255，2n＝8，故这个数列的项数为8.
答案：c8解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)，过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝＝2＝.
答案：a9解析：an＝logn＋1(n＋2)，∴由a1·a2·…·ak为整数得。
log23·log34·…·log(k＋1)(k＋2)＝log2(k＋2)为整数，设为m，则k＋2＝2m，k＝2m－2；因为211＝2 048，区间[1,2 010]内所有希望数为22－2,23－2,24－2，…，210－2，其和m＝22－2＋23－2＋24－2＋…＋210－2＝2 026.
答案：a10解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.答案：c
12解析：因为是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得：2am－a＝0.
所以am＝2，又s2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.
14解析：利用函数奇偶性画出f(x)、g(x)在[－π上的图象，如图。
由≥0或。x∈(－0，]．
答案：(－0，]
15解析：＋＝
∠c＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosc＝ab，∴a2＋b2＝ab＋c2，代入(*)式得＝1.答案：1
17．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别分钟和分钟，总收益为元，由题意得。
目标函数为。
二元一次不等式组等价于。
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域。
如图：作直线，即。
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值。
联立解得。点的坐标为。
（元）答：该公司在电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元。
18．解析：(1)由(1＋)c＝2b得＝＋＝则有＝＝＋解得tanc＝1，即c＝.
2)由·＝1＋推出abcosc＝1＋，而c＝，ab＝1＋，则有。
解得。19．解析：(1)由2sin2－cos2a＝及a＋b＋c＝180°，得2[1－cos(b＋c)]－2cos2a＋1＝，4(1＋cosa)－4cos2a＝5.
4cos2a－4cosa＋1＝0.∴cosa＝.∵0°＜a＜180°，a＝60°.
2)由余弦定理，得cosa＝.∵cosa＝，＝b＋c)2－a2＝3bc.将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.由 b＋c＝3，,bc＝2及b＞c，得 b＝2，,c＝1.
20．解析：(1)∵2an＋1－an＝n，∴an＋1＝，a1＝，∴a2＝＝；
b1＝a2－a1－1＝－－1＝－；
又bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－－1＝＝，数列是以－为首项、以为公比的等比数列．
2)由(1)得bn＝－×n－1＝－，an＋1－an－1＝－，an＋1－an＝1－，a2－a1＝1－，a3－a2＝1－，a4－a3＝1－，，an－an－1＝1－，将以上n－1个等式相加，得。
an－a1＝(n－1)－3
n－1－3·，a1＝，∴an＝＋n－1－＋＝n－2.
21解析：(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
由已知：a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－
又数列成等比数列，a1＝＝＝c，所以c＝1；
又公比q＝＝，所以an＝－n－1＝－2n，n∈n*；
sn－sn－1n≥2)，又bn＞0，＞0，∴－1；
数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，即＝1＋(n－1)×1＝n，sn＝n2；
又当n≥2时，bn＝sn－sn－1＝n2－(n－1)2 ＝2n－1.
bn＝2n－1(n∈n*)；2)tn
由tn＝＞得n＞，满足tn＞的最小正整数为112.
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