专题18 复数。
学一学---基础知识结论。
1. 复数的概念。
1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．
2) 代数形式：a＋bi(a，b∈r)，其中a叫实部，b叫虚部．
2. 复数的分类。
复数z＝a＋bi(a、b∈r)中，z是实数a∈r，b＝0，z是虚数b≠0，z是纯虚数a＝0，b≠0.
3. 共轭复数。
a＋bi与a－bi(a，b∈r)互为共轭复数．
4. 复数相等的条件。
a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈r)，则a＝c且b＝d.
特殊的，a＋bi＝0(a、b∈r)，则a＝0且b＝0.
5. 复数的模。
设复数z＝a＋bi(a，b∈r)，z在复平面内对应点为z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即|z|＝|
6. 运算法则。
z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈r)．
2)复数的加减（类比合并同类项）
3)复数的相乘（类比整式乘法）
4)复数的相除（类比分母有理化）
7.复数的乘法的运算律：对于任何，有。
交换律：；结合律：；分配律： .
8.复平面上的两点间的距离公式 ，）
9.复平面向量的垂直
非零复数，对应的向量分别是，，则。
的实部为零为纯虚数。
(λ为非零实数).
10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程：
若，则；②若，则；
若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根。
11．注意点。
1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设（、）再根据题意及复数有关知识列出关于、的方程。解方程得、，从而可以确定复数．
2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等．
3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小。
学一学---方法规律技巧。
1．复数的分类。
复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．
例1若复数z＝lg(m2－2m－3)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，求实数m的值．
答案】m＝－4
解析】解：z＝a＋bi∈r的充要条件是b＝0，前提必须是a，b∈r，因此必须先保证a，b有意义．由条件知，，∴m＝－4.
例2、若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
或 .2. 复数代数形式的运算。
复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误；二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．
例3如果复数(b∈r)的实部与虚部互为相反数，则b
例4已知复数z＝1＋i，则－z
3．复数的几何意义。
复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．
例5已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i在复平面内的对应点分别为p1、p2，向量对应的复数为－3＋i，求实数a的值．
例6若a、b∈r，则复数(a2＋6a＋10)＋(b2－4b－5)i对应的点在第几象限？
答案】第四象限。
解析】a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1>0，－b2－4b－5＝－(b＋2)2－1<0.
所以复数所对应的点在第四象限．
寒假总动员 2024年高二数学寒假作业专题18复数 背
专题18 复数。背一背 1.复数的概念。1 虚数单位i i2 1 i和实数在一起，服从实数的运算律 2 代数形式 a bi a，b r 其中a叫实部，b叫虚部 2.复数的分类。复数z a bi a b r 中，z是实数a r，b 0，z是虚数b 0，z是纯虚数a 0，b 0.3.a bi与a bi ...
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