期末考复习二。
一、目标与策略。
考纲要求】1. 理解垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、切线及切线长定理；
2．掌握圆及几何有关作图方法、切线的判定定理；
3．掌握反比例函数与一次函数综合的解题方法；
复习策略】1.清晰圆有关的定理与性质；
2.理解反比例函数与一次函数交点及取值范围问题；
二、学习与应用。
要点梳理】要点。
一、圆的定义、性质及与圆有关的角。
1．圆的性质。
1)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
⑤平行弦夹的弧相等。
要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
2．与圆有关的角。
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交。
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中。
要点。二、与圆有关的位置关系。
1．直线和圆的位置关系。
设⊙o 半径为r，点o到直线的距离为。
(1)直线和⊙o没有公共点直线和圆相离。
(2)直线和⊙o有唯一公共点直线和⊙o相切。
(3)直线和⊙o有两个公共点直线和⊙o相交。
2．切线的判定、性质。
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径。
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点。
③经过切点作切线的垂线经过圆心。
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3．圆和圆的位置关系。
设的半径为，圆心距。
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离。
(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含。
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切。
(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切。
(5)和有两个公共点相交。
要点。三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形。
1．三角形的内心、外心、重心、垂心。
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“i”表示。
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用o表示。
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用g表示。
(4)垂心：是三角形三边高线的交点。
要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(s为三角形的面积，p为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形。
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。
要点。四、圆中有关计算。
1．圆中有关计算。
圆的面积公式：，周长。
圆心角为、半径为r的弧长。
圆心角为，半径为r，弧长为的扇形的面积。
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为r，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为。
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为r，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有。
要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积s、扇形半径r、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量。
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
典型例题】类型。
一、垂径定理及圆有关性质。
例1、如图所示，已知在⊙o中，ab是⊙o的直径，弦cg⊥ab于d，f是⊙o上的点，且，bf交cg于点e，求证：ce＝be．
例．（本题满分10分）某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备用不同的方法测量该广场的半径．
1）小杰先找圆心，再量半径。 请你在图①中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心o（不写作法，保留作图痕迹）；
2）小浩在广场边（如图②）选取a、b、c三根石柱，量得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．
类型。二、圆有关综合题型。
2023年番禺区一模：
23．（本小题满分１2分）
如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点，连结．
1）求证：；
2）若，求切线的长．
2023年海珠区：
22. 如图圆o内接三角形。把以点o为旋转中心，顺时针方向旋转的度数得到。
1）利用尺规作出（要求保留作图痕迹，不写作法）
2）连接，设与，分别交于点和，求证：
2023年越秀区一模。
22．（本小题满分12分）
如图，在菱形abcd中，ab＝2，∠bad ＝60，ac交bd于点o，以点d为圆心的⊙d与边ab相切于点e．
1）求ac的长；
2）求证：⊙d与边bc也相切．
压轴题：2023年越秀区。
24．（本小题满分14分）
如图1，在半径为2的扇形aob中，∠aob=90°，点c是上的一个动点（不与点a、b重合）od⊥bc，oe⊥ac，垂足分别为点d、点e．
1）当bc=1时，求线段od的长；
2）在点c的运动过程中，△doe中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；
3）作df⊥oe于点f（如图2），当df 2+ef取得最大值时，求sin∠bod的值．
2023年海珠区一模。
24. 如图， ，点在边，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点。
1） 设 ，求关于的函数解析式；
2） 若以点为圆心长为半径的⊙，以点为圆心长为半径的⊙，当两圆相切时，求的长；
3） 当以边为直径的⊙与线段相切时，判定此时与是否垂直，请说明理由。
例1、 【答案与解析】
证法一：如图(1)，连接bc，∵ ab是⊙o的直径，弦cg⊥ab，∴
c＝∠cbe．∴ ce＝be．
证法二：如图(2)，作on⊥bf，垂足为n，连接oe．
∵ ab是⊙o的直径，且ab⊥cg，∴
bf＝cg，on＝od．
one＝∠ode＝90°，oe＝oe，on＝od，one≌△ode，∴ ne＝de．
∴ bn＝cd，∴ bn-en＝cd-ed，∴ be＝ce．
证法三：如图(3)，连接oc交bf于点n．
oc⊥bf．
∵ ab是⊙o的直径，cg⊥ab，∵ oc＝ob，∴ oc-on＝ob-od，即cn＝bd．
又∠cne＝∠bde＝90°，∠cen＝∠bed，cne≌△bde，∴ ce＝be．
2023年番禺区一模、
23．解：（1）证明：如图，是的切线，是直径，．…1分
则．又，3分。
而，……5分。
6分。（2）解：连接．
是直径，7分。
8分。在中，10分。
11分。即．
12分。2014海珠区。
22. （本题满分9分）解：（1）如图：为所求．
2）由（1）作图可知 而。
2023年越秀区。
解：（1）∵四边形abcd是菱形，∠bad＝60
∴∠bao＝30，∠aob＝90，ac=2ao ……3分。
5分。∴ac=6. …6分。
说明：第（1）小题的解法较多，只要过程合理、答案正确，同样给满分）
2）证明： 连接de，过点d作df⊥bc，垂足为点f ……7分。
四边形abcd是菱形，∴bd平分∠abc ……9分。
d与边ab相切于点e，∴de⊥ab
df⊥bcdf=de ……11分。
d与边bc也相切。 …12分。
24．（本小题满分14分）
解：（1）∵点o是圆心，od⊥bc，bc=1，
bd=bc=。 1分。
又∵ob=2，。…3分。
2）解法一：
存在，de的长度是不变的。 …4分。
如图，连结ab，则。……5分。
点d、点e分别是bc、ac的中点，de=。…7分。
解法二：存在，∠doe的度数是不变的。 …4分。
番禺区2023年九年级数学综合训练
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