初中数学试卷。
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单元评价检测(三)
第二十三章。
45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分，共28分)
1.(2013·河北中考)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
解析】选c.选项b、选项c和选项d是轴对称图形；选项a、选项c是中心对称图形，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的是选项c.
2.已知m<0,则点p(m2,-m+3)关于原点的对称点q所在的象限为( )
a.第一象限b.第二象限。
c.第三象限d.第四象限。
解析】选c.∵m<0,∴m2>0,-m+3>0,即点p在第一象限，所以点q在第三象限。
变式训练】若点p(m,-m+3)关于原点的对称点q在第三象限，那么m的取值范围是( )
a.0>
解析】选a.∵点q在第三象限，点p在第一象限，即解得03.△abc绕点a按顺时针方向旋转了60°,得到△aef,则下列结论一定正确的是。
a.∠bae=
解析】选b.如果点b和点e是对应点，则选项a、选项b和选项c是正确的；如果点b和点f是对应点，则选项b是正确的，所以，无论是哪一种情况，选项b一定正确。
特别提醒】利用分类讨论思想，分析点b的对应点，点b可能和点e对应，还有可能和点f对应，做题时，常常忽略了其中的一种情况。
4.已知点a(x,y-4)与点b(1-y,2x)关于原点对称，则yx的值是( )
a.2b.1c.4d.8
解析】选a.根据题意，列方程组，得。
解得则yx=21=2.
5.如图所示，已知△abc与△cda关于点o对称，过o任作直线ef分别交ad,bc于点e,f,下面的结论：
(1)点e和点f,点b和点d是关于中心o的对称点。
2)直线bd必经过点o.
3)四边形deoc与四边形bfoa的面积必相等。
4)△aoe与△cof成中心对称，其中正确的个数为( )
a.1b.2c.3d.4
解析】选d.△abc与△cda关于点o对称，则ab=cd,ad=bc,所以四边形abcd是平行四边形，因此点o就是abcd的对称中心，则有：(1)点e和点f,点b和点d是关于中心o的对称点，正确；(2)直线bd必经过点o,正确；(3)四边形deoc与四边形bfoa的面积必相等，正确；(4)△aoe与△cof成中心对称，正确。
所以正确的个数为4.
6.在如图4×4的正方形网格中，△mnp绕某点旋转一定的角度，得到△m1n1p1,则其旋转中心可能是( )
a.点ab.点b
c.点cd.点d
解析】选b.根据对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，作图可以得到对应点连线的交点为点b.
7.(2014·日照模拟)在△abc中，∠b=90°,∠c=30°,ab=1,将△abc绕点a旋转180°,点c落在c′处，则c,c′两点之间的距离是( )
a.2b.4c.2d.无法计算。
解题指南】本题涉及的两个知识点。
1.两个图形关于某一点成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2.在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
解析】选b.在△abc中，∠b=90°,∠c=30°,ab=1,∴ac=2ab=2;又∵点c和点c′关于点a对称，即点c,a,c′在同一直线上，且cc′=2ac=4.
二、填空题(每小题5分，共25分)
8.一个正方形绕它的中心旋转后如果能和原来的图形重合，那么它至少要旋转 .
解析】正方形绕它的中心旋转90n°(n为正整数)后都能够与原来的图形重合，所以它至少要旋转90°.
答案：90°
9.如图所示，将△abc绕点a按逆时针旋转30°后，得到△adc′,则∠abd的度数是 .
解析】根据旋转的性质，得∠bad=30°,且ab=ad,所以∠abd=(180°-∠bad)÷2
答案：75°
互动**】题中条件不变，则∠acc′的度数是 .
解析】根据旋转的性质，得∠cac′=30°,且ac′=ac,所以∠acc′=(180°-∠cac′)÷2
答案：75°
10.如图，点a在射线ox上，oa的长等于2cm.如果oa绕点o按逆时针方向旋转30°到oa′,那么点a′的位置可以用(2,30°)表示。
如果将oa′再沿逆时针方向继续旋转45°,到oa″,那么点a″的位置可以用表示。
解析】第一个坐标为原点到此点的距离，旋转前后线段长度不变，所以oa″=oa=2,第二个坐标为与射线ox的夹角，为∠a″oa′+∠a′oa=45°+30°=75°,那么点a″的位置可以用(2,75°)表示。
答案：(2,75°)
11.(2014·聊城模拟)已知点a与点a′关于原点对称，且点a的坐标为(-5,y),点a到原点的距离为13,则点a′的坐标为 .
解析】点a到原点的距离为13,即(-5)2+y2=132,解得y=±12,即点a的坐标为(-5,12)或(-5,-12),那么点a′的坐标为(5,-12)或(5,12).
答案：(5,-12)或(5,12)
12.若m,n是实数，且m,n是方程x2+3x+2=0的两根，则点p(m,n)关于原点的对称点q的坐标是 .
解析】解方程x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2,所以点p的坐标为(-1,-2)或(-2,-1),那么对称点q的坐标是(1,2)或(2,1).
答案：(1,2)或(2,1)
三、解答题(共47分)
13.(10分)(2013·安徽中考)如图，已知a(-3,-3),b(-2,-1),c(-1,-2)是直角坐标平面上三点。
1)请画出△abc关于原点o对称的△a1b1c1.
2)请写出点b关于y轴对称的点b2的坐标。若将点b2向上平移h个单位，使其落在△a1b1c1的内部，指出h的取值范围。
解析】(1)根据中心对称画图如下：
2)点b2的坐标是(2,-1),214.(12分)如图，已知∠bac=30°,把△abc绕着点a顺时针旋转，使得点b与ca的延长线上的点d重合。
1)△abc旋转了多少度？
2)连接ce,试判断△aec的形状。
3)求∠aec的度数。
解析】(1)因为∠bad=180°-∠bac=180°-30°=150°,所以△abc旋转了。
2)根据旋转的性质，可知ac=ae,所以△aec是等腰三角形。
3)在△aec中，∠cae=∠bad=150°,所以∠aec=(180°-∠cae)÷2
15.(12分)如图，在△abc和△edc中，ac=ce=cb=cd,∠acb=∠ecd=90°,ab与ce交于f,ed与ab,bc分别交于m,h.
1)求证：cf=ch.
2)△abc不动，将△edc绕点c旋转到∠bce=45°时，试判断四边形acdm是什么四边形？并证明你的结论。
解题指南】解答本题的两个关键。
1.读懂图，通过旋转的性质找出三角形全等的条件。
2.熟定理，根据旋转角找出判定菱形所需要的条件。
解析】(1)在△acb和△ecd中，∠acb=∠ecd=90°,∠1+∠ecb=∠2+∠ecb,∠1=∠2;
又∵ac=ce=cb=cd,∠a=∠d=45°;
在△cfa和△chd中，△cfa≌△chd,∴cf=ch.
2)四边形acdm是菱形。
证明：∵∠acb=∠ecd=90°,∠bce=45°,∠1=45°,∠2=45°.
又∵∠e=∠b=45°,∠1=∠e,∠2=∠b,ac∥md,cd∥am,四边形acdm是平行四边形，又∵ac=cd,平行四边形acdm是菱形。
16.(13分)把两个全等的等腰直角三角板abc和efg(其直角边均为4)叠放在一起(如图1),且使三角板efg的直角顶点g与三角板abc的斜边中点o重合，现将三角板efg绕点o按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件：0°<α90°),四边形chgk是旋转过程中两三角形的重叠部分(如图2).
在上述旋转过程中，bh与ck有怎样的数量关系？四边形chgk的面积有何变化？请证明你的发现。
解析】bh=ck.四边形chgk的面积没有变化。
△abc是等腰直角三角形，o为斜边中点，cg=bg,cg⊥ab,∠acg=∠b=45°,∠bgh与∠cgk均为旋转角，∠bgh=∠cgk,因此△cgk可以看作是由△bgh绕点o顺时针旋转而得，故bh=ck,s△cgk=s△bgh,s四边形chgk=s△cgk+s△cgh=s△bgh+s△cgh=s△bcg
s△abc=××4×4=4.
即四边形chgk的面积在旋转过程中没有变化，始终为4.
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人教版九年级数学上册单元评价检测 四
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