八年级竞赛2班辅导资料（1） 原班级： 姓名：
一、“路线最短问题”
一】思路点拨。
1．两点之间线段最短； 2．垂线段最短； 3．将军饮马问题．
二】例题精讲。
例1某课题组在**“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点a、b，在直线上存在点p，使得pa+pb的。
值最小．解法：作点a关于直线的对称点a′，连接a′b，则a′b
与直线的交点即为p，且pa+pb的最小值为a′b．
请利用上述模型求代数式（0≤x≤4）的最小值．
解：构造图形如图所示，其中：ab=4，ac=1，db=2，ap=x，ca⊥ab于a，db⊥ab于b．
pc+pd=+，所求的最小值就是求pc+pd的最小值．
作点c关于ab的对称点c′，过c′作c′e垂直db的延长线于e．
则c′e=ab=4，de=2+1=3，c′d===5
所求代数式的最小值是5．
例2 筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色彩带，如图所示，已知圆筒高为108cm，其横截面的周长为36cm，如果在表面上缠上4圈彩带，最少应裁剪多长的彩带？
180cm三】巩固练习。
1．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点a、b分别是圆柱两底面圆周。
上的点，且a、b在同一母线上，用一根棉线从a点顺着圆柱侧面绕3圈到b
点，则这根棉线的长度最短为（ ）c
a．12cm b．cmc．15cm d．cm
解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从a顺着圆柱侧面绕3圈到b的。
运动最短路线是：ac→→db；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，a沿着3
个长方形的对角线运动到b的路线最短；
圆柱底面半径为cm，长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×=4cm；
又∵圆柱高为9cm，∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得ac==db=5cm； ∴ac++db=15cm；故选c．
2．如图，等腰直角三角形abc的直角边长为2，e是斜边ab的中点，p是ac边上的一动点，求pb+pe的最小值．
解：如图所示，作点b关于ac的对称点b′，连接b′e交。
ac于p，此时pb+pe的值最小．连接ab′．
ab′=ab===2，ae=ab=，∠b′ac=∠bac=45°，∴b′ab=90°，pb+pe的最小值=b′e===
故答案为：；
3．如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为l2cm，在纸杯内壁离杯底2cem的点c处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点a处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．
解：如图：将杯子侧面展开，作a关于ef的对称点a′，连接a′c，则a′c即为最短距离，由题意可得出：a′d=6cm，cd=8cm，a′c==10（cm），故选：c．
4．如图，c为线段ab上一动点，分别过点a、b作da⊥ab，eb⊥ab．
已知ad=3，be=2，ab=12，设ac=x
1）用含x的代数式表示dc+ce的长．
2）请问点c满足什么条件时，dc+ce的值最小？
3）根据（2）的规律和结论，请构图求出代数式。
的最小值．解：（1）∵da⊥ab，eb⊥ab，∴△adc和△cbe都是直角三角形．
由勾股定理可知：dc+ce===
2）根据两点之间线段最短可知：当d、c、e三点共线时，ac+ce的值最；
3）如下图所示：作ab=8，过点b作be⊥ab，过点a作ad⊥ab，使ad=5，eb=1，连接de交ab于点c，设ac=x，则de的长即为代数式的最小值．
过点e作ef∥ab交da的延长线于点f，得矩形abef，则ab=ef=8，af=be=1，df=ad+af=5+1=6，在rt△dfe中，由勾股定理得：de==，即代数式的最小值为10．
八年级竞赛2班辅导资料（2） 原班级姓名：
一、“路线最短问题”
1．如图，△abc中，ab=2，∠bac=30°，若在ac、ab上各取一点m、n使bm+mn的值最小，则这个最小值为___
解：如图2，作点b关于ac的对称点b，过b′作b′n⊥ab于n，交ac于m．此时bm+mn的值最小．bm+mn=b′n．
点b′与点b关于ac对称，∴ab′=ab
又∵∠bac=30°，∴b′ab=60°，∴b′ab是等边三角形。
b′b=ab=2，∠b′bn=60°，又∵b′n⊥ab，∴b′n=b′b=；
2．如图，∠aob=45°，p是∠aob内一点，po=10，q、r分别是。
oa、ob上的动点，则△pqr周长的最小值为。
解：分别作点p关于oa、ob的对称点m、n，连接。
om、on、mn，mn交oa、ob于点q、r，连接。
pr、pq，此时△pqr周长的最小值等于mn．
由轴对称性质可得，om=on=op=10，∠moa=∠poa，nob=∠pob，∠mon=2∠aob=2×45°=90°，在rt△mon中，mn===10．
即△pqr周长的最小值等于10
3．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点a和点c嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
a．4dm b．2dm c．2dm d．4dm
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2ac的长度．
圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，ab=2dm，bc=bc′=2dm，∴ac2=22+22=4+4=8，ac=2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2ac=4dm．
故选：a．4．如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点a处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点b处的食物。
则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于（ ）
a． b．2+1 c． d．5
解：如图所示，由图可知，ab==．
故选a．5．如图，地面半径为1，母线长为4的圆锥a处有一只蚂蚁，它绕。
这个圆锥侧面爬行一圈后回到a处，则蚂蚁所走最短路线长为（ ）
a．2 b．4 c．4 d．4
解：∵底面圆的半径为1，∴底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，则2π=，解得n=90°，∴展开图中圆心角为90°，∴aa′==4．故选b．
6.如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学小组研究由长方体的底面点a到与点a相对的点b的最短距离（沿长方体表面）时，测得长方体的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，请你帮该小组求出点a到点b沿表面的最短距离。（精确到1cm，参考数据：
）18cm5．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．
著名的恩施大峡谷（a）和世界级自然保护区星斗山（b）位于笔直的沪渝高速公路x同侧，ab=50km，a、b到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区p，向a、b两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ap与直线x垂直，垂足为p），p到a、b的距离之和s1=pa+pb，图（2）是方案二的示意图（点a关于直线x的对称点是a'，连接ba'交直线x于点p），p到a、b的距离之和s2=pa+pb．
1）求s1、s2，并比较它们的大小；（2）请你说明s2=pa+pb的值为最小；
3）拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，b到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区p、q，使p、a、b、q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
解：（1）图（1）中过b作bc⊥x于c，垂足为c；ad⊥bc于d，垂足为d，则bc=40，又∵ap=10，∴bd=bc﹣cd=40﹣10=30．
在△abd中，ad==40，在rt△pbc中，∴bp=，s1=．
图（2）中，过b作bc⊥aa′垂足为c，则a′c=50，又∵bc=40，∴ba'=，由轴对称知：pa=pa'，∴s2=ba'=，s1＞s2．
2）如图（2），在公路上任找一点m，连接ma，mb，ma'，由轴对称知ma=ma'，mb+ma=mb+ma'＞a'b，∴s2=ba'为最小．
3）过a作关于x轴的对称点a'，过b作关于y轴的对称点b'，连接a'b'，交x轴于点p，交y轴于点q，则p，q即为所求．过a'、b'分别作x轴、y轴的平行线交于点g，b′g=40+10=50，a′g=30+30+40=100，a'b'=，ab+ap+bq+qp=ab+a′p+pq+b′q=50+50，所求四边形的周长为．
八年级竞赛2班辅导资料（3） 原班级姓名：
二、 勾股定理的应用。
一】例题精讲。
例1 如图，△abc中，∠a=45°，ac=，ab=．
1）求； （2）求bc的长．
例2 两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重合的顶点记作a，顶点c在另一张纸的分隔线上，若bc=，则ab的长是___
例3 如图，在凸四边形abcd中，∠abc=30°，∠adc=60°，ad=dc,
求证：提示：过点b作be⊥ab,且使be=bc,连接ce、ae、ac.
二】巩固训练。
1．将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
a．h≤17 b．7≤h≤16 c．15≤h≤16 d．h≥8
解：如图，当筷子的底端在d点时，筷子露在杯子外面的长度最长，h=24﹣8=16cm；
当筷子的底端在a点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在rt△abd中，ad=15，bd=8，ab==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选b．
八年级竞赛辅导
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