2024年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题31：折叠问题。
一、选择题。
1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△abc纸片，点d、e分别是边ab、ac上，将△abc沿着de折叠压平，a与a′重合，若∠a=75°，则∠1+∠2=【
a．150° b．210° c．105° d．75°
答案】a。考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
分析】∵△a′de是△abc翻折变换而成，∴∠aed=∠a′ed，∠ade=∠a′de，∠a=∠a′=75°。
∠aed+∠ade=∠a′ed+∠a′de=180°﹣75°=105°，∴1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
故选a。2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片abcd中，∠a=600，将纸片折叠，点a、d分别落在a’、d’处，且a’d’经过b，ef为折痕，当d’fcd时，的值为【 】
abcd.
答案】a。考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
分析】延长dc与a′d′，交于点m，在菱形纸片abcd中，∠a=60°，∠dcb=∠a=60°，ab∥cd。
∠d=180°-∠a=120°。
根据折叠的性质，可得。
a′d′f=∠d=120°，∠fd′m=180°-∠a′d′f=60°。
d′f⊥cd，∴∠d′fm=90°，∠m=90°-∠fd′m=30°。
∠bcm=180°-∠bcd=120°，∴cbm=180°-∠bcm-∠m=30°。∴cbm=∠m。
bc=cm。
设cf=x，d′f=df=y， 则bc=cm=cd=cf+df=x+y。∴fm=cm+cf=2x+y，在rt△d′fm中，tan∠m=tan30°=，
。故选a。3.
（2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片abcd沿过点b的直线折叠，使点a落在bc上的点e处，还原后，再沿过点e的直线折叠，使点a落在bc上的点f处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】
a．＋1 b．＋1 c．2.5 d．
答案】b。考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
分析】∵将如图所示的矩形纸片abcd沿过点b的直线折叠，使点a落在bc上的点e处，ab＝be，∠aeb＝∠eab＝45°，还原后，再沿过点e的直线折叠，使点a落在bc上的点f处，ae＝ef，∠eaf＝∠efa＝＝22.5°。∴fab＝67.
5°。设ab＝x，则ae＝ef＝x，an67.5°＝tan∠fab＝t。故选b。
4. （2012广东河源3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△abc纸片，点d、e分别在边ab、
ac上，将△abc沿着de折叠压平，a与a′重合．若∠a＝75，则∠1＋∠2＝【
a．150b．210c．105d．75
答案】a。考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
分析】根据折叠对称的性质，∠a′＝∠a＝75。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得。
1＋∠2＝1800－∠ada′＋1800－∠aea′＝3600－（∠ada′＋∠aea′）＝a′＋∠a＝1500。
故选a。5. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片abcd的边长为3，点e、f分别在边bc、cd上，将ab、ad分别和ae、af折叠，点b、d恰好都将在点g处，已知be=1，则ef的长为【 】
a． b． c． d．3
答案】b。考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
分析】∵正方形纸片abcd的边长为3，∴∠c=90°，bc=cd=3。
根据折叠的性质得：eg=be=1，gf=df。
设df=x，则ef=eg＋gf=1＋x，fc=dc－df=3－x，ec=bc－be=3－1=2。
在rt△efc中，ef2=ec2＋fc2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。
df= ，ef=1＋。故选b。
6. （2012湖北武汉3分）如图，矩形abcd中，点e在边ab上，将矩形abcd沿直线de折叠，点a
恰好落在边bc的点f处．若ae＝5，bf＝3，则cd的长是【 】
a．7b．8c．9d．10
答案】c。考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
分析】根据折叠的性质，ef=ae＝5；根据矩形的性质，∠b=900。
在rt△bef中，∠b=900，ef＝5，bf＝3，∴根据勾股定理，得。
∴cd=ab=ae＋be=5＋4=9。故选c。
7. （2012湖北黄石3分）如图所示，矩形纸片abcd中，ab=6cm，bc=8 cm，现将其沿ef对折，使得。
点c与点a重合，则af长为【 】
abcd.
答案】b。考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。
分析】设af=xcm，则df=（8-x）cm，矩形纸片abcd中，ab=6cm，bc=8cm，现将其沿ef对折，使得点c与点a重合，df=d′f，在rt△ad′f中，∵af2=ad′2＋d′f2，即x2=62＋（8－x）2，解得：x=。故选b。
8. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形abcd的对角线长为2，将正方形abcd沿直线ef折叠，则图中阴影部分的周长为【 】
a． 8 b． 4 c． 8d． 6
答案】c。考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。
分析】如图，∵正方形abcd的对角线长为2，即bd=2，∠a=90°，ab=ad，∠abd=45°，ab=bdcos∠abd=bdcos45°=2。
ab=bc=cd=ad=2。
由折叠的性质：a′m=am，d′n=dn，a′d′=ad，图中阴影部分的周长为。
a′m+bm+bc+cn+d′n+a′d′=am+bm+bc+cn+dn+ad=ab+bc+cd+ad=2+2+2+2=8。
故选c。9. （2012四川内江3分）如图，在矩形abcd中，ab=10，bc=5点e、f分别在ab、cd上，将矩形abcd沿ef折叠，使点a、d分别落在矩形abcd外部的点a1、d1处，则阴影部分图形的周长为【 】
a.15 b.20 c.25d.30
答案】d。考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。
分析】根据矩形和折叠的性质，得a1e=ae，a1d1=ad，d1f=df，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选d。
10. （2012四川资阳3分）如图，在△abc中，∠c＝90°，将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，已知mn∥ab，mc＝6，nc＝，则四边形mabn的面积是【 】
a． b． c． d．
答案】c。考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，分析】连接cd，交mn于e，将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，mn⊥cd，且ce=de。∴cd=2ce。
mn∥ab，∴cd⊥ab。∴△cmn∽△cab。
在△cmn中，∠c=90°，mc=6，nc= ，
。故选c。11. （2012贵州黔东南4分）如图，矩形abcd边ad沿拆痕ae折叠，使点d落在bc上的f处，已知ab=6，△abf的面积是24，则fc等于【 】
a．1 b．2 c．3 d．4
答案】b。考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
分析】由四边形abcd是矩形与ab=6，△abf的面积是24，易求得bf的长，然后由勾股定理，求得af的长，根据折叠的性质，即可求得ad，bc的长，从而求得答案：
四边形abcd是矩形，∴∠b=90°，ad=bc。
ab=6，∴s△abf=abbf=×6×bf=24。∴bf=8。
由折叠的性质：ad=af=10，∴bc=ad=10。∴fc=bc﹣bf=10﹣8=2。故选b。
12. （2012贵州遵义3分）如图，矩形abcd中，e是ad的中点，将△abe沿be折叠后得到△gbe，延长bg交cd于f点，若cf=1，fd=2，则bc的长为【 】
a． b． c． d．
答案】b。考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
分析】过点e作em⊥bc于m，交bf于n。
四边形abcd是矩形，∴∠a=∠abc=90°，ad=bc，∠emb=90°，∴四边形abme是矩形。∴ae=bm，由折叠的性质得：ae=ge，∠egn=∠a=90°，∴eg=bm。
∠eng=∠bnm，∴△eng≌△bnm（aas）。∴ng=nm。
e是ad的中点，cm=de，∴ae=ed=bm=cm。
em∥cd，∴bn：nf=bm：cm。∴bn=nf。∴nm=cf=。∴ng=。
bg=ab=cd=cf+df=3，∴bn=bg﹣ng=3﹣。∴bf=2bn=5
。故选b。13. （2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片abcd沿ef折叠，使点b与cd的中点重合，若ab=2，bc=3，则△fcb′与△b′dg的面积之比为【 】
a．9：4 b．3：2 c．4：3 d．16：9
答案】d。考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
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