有限元基本理论及工程应用。
大作业。2024年5月15日。
一、对一维有限元问题：(1) 推导出三点二次单元的形函数，给出相应的图形，并与两点线性单元进行比较；(2) 若用三点二次单元对图示一端固定，弹性模量为e，截面面积为a的直杆轴向拉压问题进行有限元分析，试给出总体有限元方程；(3) 给出左端点的位移。
端部受压杆件示意图。
解：1) 三点二次单元形函数的推导：利用拉格朗日差值函数构造型函数。
图1-1 所选坐标系和结点位置示意图。
如图所示选取的坐标系和节点位置，单元节点参数取， ,构造单元内的位移插值函数。
其中形函数要求在本节点上取值为1，在其他节点上取值为0。通过分析两节点一次单元的形函数分子、分母的形式，可知其满足lagrange插值基本形式：
其中， 下面将的节点坐标带入上式可得如下简单形式。
取i、j、k三节点的坐标分别为，则利用matlab绘出的形函数图形如图1-2,1-3所示。
下面对比两点一次单元与三点二次单元的形函数图线，采用matlab绘图。
图1-2 两节点一次单元形函数示意图。
图1-3 三节点二次单元形函数示意图。
2) 为求问题中自由端的位移，若采用有限元法，则需先划分单元，然后进行单元分析。若采用三节点二次单元，需要对其进行单元分析以获得单元刚度矩阵。下面先对单元分析的过程做系统性描述。
单元内位移场。
单元的应变。
单元的变形能。
故得到单元刚度矩阵。
下面采用三种不同的单元划分方法求解此问题。
方法一，一个单元，不等长度。
节点坐标。带入形函数表达式有。
求导得几何矩阵。
积分得单元刚度矩阵。
对于此问题，，于是将边界条件带入总体平衡方程中有。
解此线性方程组，结果为。
方法二，两个单元，不等长度。
节点坐标。同样的方法，可得单元的单元刚度矩阵。
组装并获得总体刚度矩阵。
于是将边界条件带入总体平衡方程中有。
解此线性方程组，结果
方法三，两个单元，等长度。
节点坐标。类似的方法，可得单元刚度矩阵。
组装并获得总体刚度矩阵。
于是将边界条件带入总体平衡方程中有。
解线性方程组，结果
3) 结果分析与比较。
首先，采用材料力学方法计算受压杆件的位移场。杆件轴向变形量。
下面做出杆件的轴力图，以确定。
图1-4 受压杆件的轴力图与变形图。
由图1-4可知，杆件内为线性位移场。但本题的求解过程中选择了三点二次单元，它将描述一个二次位移场。这与物理实际产生较大差异。除非二次项系数为零，位移场从二次退化成线性。
下面，比较三种单元划分方法求得的二次位移场与线性位移场的差异。通过。
图1-5 三种单元划分方法所求杆件位移场的比较。
比较可以发现：方法二计算出的位移场完全正确，这是因为两个二次单元均退化成线性位移场；方法三单元1的位移场符合实际，而单元2位移场仍是二次的，与正确结果仍有差异；方法一采用一个二次单元描述线性位移场，所求结果与真实结果误差较大。
综上可以发现，二次单元较一次单元而言，单元的信息量增大了，单元的精度增高，适用范围扩大。但使用场合不当，不但发挥不了二次单元的优势，相反可能会使所求结果与真实结果相违背。如此的话，采用二次单元徒增了计算量又没有获得正确结果，实属得不偿失。
二，热传导问题的有限元分析。
1) 推导对应二维热传导的“能量泛函”;
2) 用四节点线性形函数表示该“能量泛函”并写出其对应的一般的矩阵形式。
解：1) 热传导分析的傅里叶方程，表明s方向上的热流正比于温度梯度，并反向流动。以图2-1的二维情形为例进行分析，考虑热正交各向异性的材料。
或 这里与是材料主方向上的热传导系数。 图2-1 带有主方向r,s的层状材料。
在方向上的温度梯度，可以通过链式微分与，联系起来：
带有主方向，的层状材料。
其中。热流是矢量，与位移以同一种方式进行变换，即。
根据上述表达式可以推出。
其中。由于温度是标量，无需进行坐标转换。
图2-2 通过平面微元边的热流。
对于单位厚度的物体而言，热量产生率在一个微元上是。如图所示，假设平行于的面是绝热的。那么，单位厚度的净热流量是：
或。内部的热流是存储能增加，即。所以有。合并上述各式可以得到。
如果为各向同性且均匀介质，则和， 上式可以化简为。
二维热传导的控制方程为：
为方便起见，此处近推导仅存在热传导的单元，其温度泛函为：
2) 用四节点线性单元形函数表示该“能量泛函”时，首先用矩阵形式表示温度为：
其中形函数是x和y的线性函数。现在定义一个算子矩阵：
故可得出几何矩阵如下：
另定义一个热传导矩阵：
则最终的“能量”泛函可表示为如下矩阵形式：
3、使用四节点四边形单元的形函数推导热传导问题的单元刚度矩阵。
解：1）写出平面热传导问题的温度泛函。
式中，即。
2）确定温度泛函中的各函数。
a) 对于母体单元——四结节四边形等参元，列出四个形函数。
图 1 如图1所示，定义出四个结点，可写出四个形函数。
其中3）b) 实际单元与母体单元之间的变换。
1、写出坐标变换函数。
2、jacobi矩阵和jacobi行列式。
3）温度刚度矩阵的形式。
为了便于表示，令。
所以可得。
将它们代入到中，有。
对单元结点温度求偏导。
将式12按展开，并写成矩阵形式，有：
式中，均与温度无关，只是 ξ,的函数，而均是节点温度的函数（式8），所以。
再来看，可得。
写出对的偏导，16）所以。
其中。回代到能量泛函里，对温度求导有。
则。其中，21）即。
其中，即为热传导问题的单元刚度矩阵。
四。在总体坐标系中有一个任意三角形，设三个节点的坐标分别为：
节点1：（x1, y1）
节点2：（x2, y2）
节点3：（x3, y3）
1）试推导其总体坐标系中的形函数。
2）证明（1）给出的形函数与用面积坐标表达的形函数等价。
解：1）总体坐标系中形函数的推导：
任取一个一般性的三结点三角形单元，如图1所示。三个结点的编号为， ,结点位移为单元结点位移可表示为。
假定单元内位移场， 是，的一次函数。
为待定常数，在结点处应有。
可解出：其中。
当， ,的位置为逆时针排列时，恒正，且等于三角形单元面积的两倍。将这些结果代入（1-1）有。
类似可得到。
可以合并成。
由上推导可得，典型的三结点三角形单元当其位移模式选取一次多项式时，单元的插值函数为。
2）证明（1）中给出的形函数与用面积坐标表达的形函数等价：
单元内任一点可用面积坐标表示如下：
其中，为面积坐标。
且（即独立分量只有两个图2
由解析几何，有：令：得：
即。故（1）中给出的形函数与用面积坐标表达的形函数等价。
五，二跨两端固定等截面梁如图示。在右跨受有向下的均布荷载q。试用有限元方法完成：(1) 简支处的转角及约束反力；(2) 梁的剪力图与弯矩图。
解：（1）有限元法求转角和约束反力。
1)结构离散化。
将该梁分成两个单元，共三个节点，第一单元长度为，第二单元长度为，对单元和节点进行编号，编号如图5-1所示：
图5-1 单元及节点划分。
2)建立总体坐标，并确定节点坐标和自由度。
建立如下图5-2所示的坐标系，坐标原点与节点1重合。以分别表示方向的位移分量。在总体坐标中，各节点的坐标为：
图5-2 总体坐标系建立。
3)单元分析。
首先，要先将单元（2）处的均布载荷转化成节点的等效载荷。经过分析可知，对于每个节点而言，有两个自由度，分别为纵向位移和转角。取单元（2）,由于单元比较规则而且简单，故可以直接在整体坐标中进行分析：
由于每个单元有四个节点参数，故可设单元挠度为三次函数，设单元位移即挠度为：，则转角为：
由相应的边界条件得： ，用一维hermite型插值可得到形函数过程如下：
设带入可得。
则。设，将带入，得。
因此得：。同理可得，即形函数为：
则。故等效载荷为：
等效载荷图如下图5-3所示：
图5-3 等效载荷图。
然后，求出各单元的刚度矩阵和载荷向量。
设各节点处的约束反力为、、、其中，）。对于每一个单元，要列出方程：
其中，为单元刚度矩阵，为位移向量，为载荷向量。
对于单元（1），刚度矩阵为：
将等效载荷及约束反力化到单元（2）中，故单元（1）的载荷向量为：
故可得到单元（1）的方程：
对于单元（2），刚度矩阵为：
将等效载荷及约束反力化到单元（2）中，故单元（2）的载荷向量为：
故可得到单元（2）的方程：
4)总体刚度矩阵的组装。
通过矩阵扩充，将单元刚度阵组装成总刚度阵，得到总体方程组：
5)施加约束条件。
由题得，边界条件为：，。
6)解方程。
由边界条件通过划行划列可得方程：
故可得。再将的值代入到原方程(5.10)中，可解得各点的约束反力：
故可得：因此，通过有限元方法解出简支处的转角为，约束反力为。
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