高等桥梁结构理论课程作业参***（2014版）
作业1】如图1所示薄壁单箱断面，试分别计算：（1）该截面在竖向弯矩作用下的正应力（注：平截面假定成立。）；2）该截面在竖向剪力通过截面中心作用下的剪应力分布。
图1 薄壁单箱断面几何尺寸（单位：cm）
参***】由于该截面关于y轴对称，故需要确定主轴ox轴的位置，假定ox轴距离上翼缘中心线为a，由，得。即。即。
由ansys计算截面几何特性参数，计算结果如图2所示。具体几何特性计算结果为：
竖向抗弯惯性矩为，横向抗弯惯性矩为，扭转常数为：，截面几何中心至顶板中心线距离为。
1）截面在竖向弯矩作用下，由初等梁理论可知，截面正应力分布由下式计算，即。
pa） （具体截面正应力分布如图3所示。
图2截面在竖向弯矩作用下正应力分布图。
2）截面在竖向剪力作用下，闭口截面弯曲剪应力计算公式可知，截面剪应力为。
划分薄壁断面各关键节点如图3（a）所示。将截面在1点处切口，变为开口截面，求、和。作图如图3（b）所示。
a）薄壁断面节点划分图（单位：cm）
b）y图（单位：cm）1.2862*0.1*3
c）点1处开口对应的图（以绕几何中心逆时针方向为正，单位：cm3）
d） 闭口截面剪应力图（单位：kpa）
图3薄壁截面剪应力计算图式（注：剪力流为正时，对应逆时针方向；剪力流为负对应顺时针方向）
由可求出该开口截面各点处的（以绕截面几何中心逆时针方向为正），即，；
故在1点处切口对应的开口截面各点处的如图3（c）所示。现求，考虑到关于y轴反对称，故，即。即截面在竖向剪力作用下的剪应力为，具体分布如图3（d）所示。
从图3（d）中可以看出，单箱薄壁截面腹板剪应力较大，而翼缘板靠近腹板处剪应力较大，向两侧逐渐减小。
作业2】应用ansys软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在（工况一）梁端作用集中载和（工况二）梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4，1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布，并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。（略！）
作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁，计算跨径为40m，沿梁长等截面。截面尺寸如4所示。采用c40混凝土，剪切模量为，弹性模量为。
荷载为跨中作用一偏心荷载，偏心距为（计算约束扭转时，可简化为集中力矩）
图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸（单位：cm）
图5 截面划分及计算尺寸（单位：cm）
参***】1）截面几何特性计算。
1）截面几何中心。
对顶板中心线取面积矩，即，面积；
箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为：；
2）惯性矩。
截面绕、轴的惯性矩分别为、。
3）广义扇性坐标计算。
将以截面几何中心（为极点的扇性坐标记为，将以扭转中心为极点的扇性坐标记为。扇性坐标原点取在轴与顶板中心线的交点上，如图5所示。则根据广义扇性坐标定义可知：
式中，，，具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下，具体计算结果如表1所示。
箱梁闭口部分：；
顶板悬臂部分：左侧；右侧。
表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标计算汇总。
a）箱梁截面广义扇性坐标（单位：m2）
b）箱梁截面坐标图（单位：m）
图6 箱梁截面广义扇性坐标与坐标图。
4）扭转（剪切）中心的确定。
设扭转中心与截面几何中心的距离分别为和，具体计算公式为。
考虑到轴为对称轴，且广义扇性坐标关于轴反对称，则广义扇性坐标与直角坐标的惯性积，，即扭转中心在上，故只需求。
扇性惯性积可采用箱梁截面坐标图（图6（b）所示）与广义扇性坐标图（图6（a）所示）乘得到，即。
扇性惯性积具体计算结果汇总见表2。
表2 扇性惯性积具体计算结果汇总表。
即扭转中心与截面几何中心竖向距离为：
即扭转中心a坐标为（0，-0.3000），在截面几何中心的正下方0.3m处。
图7所示为采用ansys计算得到的该截面的剪切中心位置，从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方0.29233m，与本文计算结果比较接近。
图7 薄壁箱梁截面剪切中心ansys计算结果。
5）主扇性坐标计算。
将扇性坐标极点从几何中心c移到剪切中心a处，按下式进行主扇性坐标计算，即。
其中，为积分常数，与广义扇性静矩有关，即。
由于广义扇性坐标关于轴反对称，则。
故，据此可计算得到各节点的主扇性坐标，结果如表3所示。对应的主扇性坐标图如图8所示。
表3 主扇性坐标的计算结果汇总表。
图8箱梁截面主扇性坐标（单位：m2）
6）广义扇性静矩计算。
在计算截面约束扭转剪应力时，需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩：
计算主扇性坐标下的扇性静矩，取主扇性坐标零点（4点）为计算的起点，即在距离点为处的广义扇性静矩按下式计算，即。
在节点处的为。
式中，为板段计算起点的广义扇性静矩。由4点开始依次计算，则各板段起点处的及均可以计算。本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下：
4-3'段：
3'-1'段：(2'与3'之间距离为1.089m)
3'-6'段：(3'与6'之间主扇性坐标0点距离3'点为1.3624m)
6'-7段：
7-6段：6-3段：（主扇性坐标“零”值10距离6点0.7576m）
3-4段：验证了计算结果的正确性！）
3-1段：(2与3之间距离为1.089m，注：计算该段是为顺时针方向，故s、l均应去负值！)
对应该截面主扇性静矩如图9所示。
图9 箱梁截面主扇性静矩（单位：m4）
计算及。根据图9对分段进行计算，具体计算过程如下：
4-3'段：
3'-1'段：
3'-6'段：
6'-7段：
即，。故广义扇性静矩为，即截面广义扇性静矩如图10所示。
图10 箱梁截面广义扇性静矩（单位：m4）
7）主扇性惯性矩、极惯性矩、抗扭惯性矩几何特征计算。
截面极惯性矩（以剪切中心为极点，仅考虑闭口部分，不计入悬臂翼缘部分。）：截面抗扭惯性矩：
截面约束扭转系数（翘曲系数）：
截面主扇性惯性矩由主扇性坐标图乘可得，即。
即（注：比ansys计算结果偏小约7%）。
2）约束扭转内力及应力计算。
闭口截面约束扭转微分方程如下：
其中。该方程解为。
边界条件：（截面无约束扭转变形），（截面可自由翘曲）。
简支梁跨中截面位置作用集中扭矩时，跨中截面的约束扭转角与双力矩分别为：
1）跨中截面约束扭转正应力。
跨中截面约束扭转位移。
跨中截面翘曲双力矩为：
箱梁截面扇性正应力为：，对应的截面翘曲正应力结果如图11所示。
图11 箱梁截面约束扭转正应力（单位：mpa）
2）跨中截面约束扭转剪应力。
简支梁在跨中作用集中力矩时，任意截面（）时双力矩为。
弯扭力矩为：
当， 对应的跨中截面约束扭转剪应力为。
对应的跨中截面约束扭转剪应力如图12所示。
图12 箱梁截面约束扭转剪切应力（单位：mpa）
作业4】采用有限元方法对教材p31页算例进行计算，具体分两个工况进行：
1）跨中截面腹板位置作用一对对称集中竖向荷载，荷载大小为p/2=225.5kn；
2）跨中截面腹板位置作用一对反对称集中竖向荷载，荷载大小为p/2=225.5kn.
分别计算跨中截面、1/4跨位置截面上的正应力与剪应力分布，并绘制相应的正应力和剪应力分布曲线。 （略）
作业5】教材p143页第6题。（略）
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