1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为i，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒。如图题中的广义坐标，设系统的振动方程为：
则系统运动过程中速度表达式为：
系统最大位移和速度分别为：
系统在运动过程中，动能表达式为：
弹性势能为：
系统最大动能为：
最大弹性势能为：
由于系统机械能守恒，因此：
由上式可解得系统的固有频率为：
1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。
解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为。
所以。取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由。
a）由题意可知，系统势能为。
b）将（a）式代入（b）式，可得系统最大势能为，由。
得 所以，有。
1-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于o点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
当n＝pn时，c＝cc
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k
由 ，共振时所以。
又由当。与②联立解出 m＝20.69 kg，k＝744.84 n/m
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
解：选时物块平衡位置为坐标原点o，建立坐标系，如右图，则即
即改成，下面也都一样。
利用复数求解 ， 用代换sinwt 并设方程（*）的特解为。
代入方程（*）得。
其中b为振幅，为响应与激励之间的相位差，有。
其中 2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率pn、阻尼比及稳态响应振幅。
解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理。
即。令，，，得到。
2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu（t），初始条件为，求质量m的相对位移。
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为。
令，则有 得到系统的激振力为，，可得响应为。
其中，，。2-19 题2-19图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，道路前方有一隆起的曲形地面∶。
1) 求车通过曲形地面时的振动；
2) 求车通过曲形地面后的振动。
题2-19图。
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
由曲形地面∶，得到。
得到系统的激振力为，。
1）车通过曲形地面时的振动为。
2）车通过曲形地面后的振动。
车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即。
由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为。
其中，。或积分为。
4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。
题4-1图
解：由题3-10的结果，
代入，， 可求出刚度矩阵k和质量矩阵m
由频率方程，得，
为求系统主振型，先求出adjb的第一列。
分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为。
4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，得作用力方程为。
由频率方程，得。
4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为。
由频率方程，得。
因此可得到频率方程。
解出。解出频率为，，。
由特征矩阵，特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入，即得归一化得。
将代入，得归一化得。
将代入，得归一化得。
将代入，得归一化得。
得系统的主振型矩阵为。
各阶主振型如下图所示：
4-9 在题4-9图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为。
由频率方程，得。
解出频率为，
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入得系统的第一阶主振型为。
满足如下关系：
展开以上二式得，。取， ，可得到。即有。
满足如下关系：
展开以上二式得，，，联立得。取，，可得到。即得。
主振型矩阵为。
8-9 一个质量为15 kg的无阻尼减振器，频率调整到250 rad/s，把它放在一个质量为150 kg，底座刚度为1×107 n/m的机器上。当频率为250 rad/s时，减振器的振幅为3.9 mm，求频率为275 rad/s时机器的振幅。
解：由题意可得。
为主系统的等效静位移，为的振幅，为的振幅。又。因为。
所以有代入数据得。
=3.656 mm
又有代入数据得。
=9.01 m
所以所求振幅为9.01 m
8-10 一个质量为20 kg的机器安装在刚度为1.3×106 n/m的底座上，求一个质量为4 kg的有阻尼减振器的最佳设计刚度和阻尼系数？解：
最佳的和的选取标准是：
1、 选取使曲线族过的两个定点s和t处的幅值相等。
2、 选取，使这条曲线在两个定点s和t处的切线水平。
为了解决第一个问题我们选取和两条曲线求交点s和t
时2)时3)
使(2)、(3)两式的左右相等，再根据两交点处的幅值相同可以求出：
两个焦点并为一个： =0.9768
把代入(1)式，两边对求导并使时导数为零，可以求出。
解二。建立运动微分方程：
令上式的稳态响应为。
其中，是复振幅。
代入得。所以有：
其中。其中和分别为系统稳态响应的振幅和相位差。
可以得到主系统的振幅。
把已知条件代入得。
1.81×104 n/m，c =134.3 n-s/m
8-7 质量为100 kg的机器放在一个长度为3 m的简支梁上。梁的弹性模量为200×109n/m2，惯性矩为1.3×10-6n/m4，机器在工作过程中受到一个大小为5000 n，速度为600～700 r/min的简谐激励。
设计一个无阻尼减振器使得机器在以各种速度运转时，其稳态振幅均小于3 mm。
梁的刚度为。
系统的固有频率是。
假设在这个速度时，消除了稳态振动，则。
由式，对r<1，分子为正，分母为负，因此，对＝600 r/min＝62.8 rad/s，且r1＝r2＝62.8/68.0＝0.923时，为使x1<3，得。
解得＝0.652。对r>1，式中的分子、分母均为负，因此，对＝700 r/min＝73.3 rad/s，且r1＝r2＝72.3/68.0＝1.078，得。
解得＝0.525，由于计算的质量比，代表的是在运转范围的限制内小于3 mm的振幅的最小质量比，所以必须选择较大的质量比，故。
8-11 如果一个最佳设计的有阻尼减振器用于题8-7的系统中，质量比为0.25，在转速为600 r/min时，机器的稳态的振幅为多少？
由式将最佳的减振器调整为。
由式计算得最佳阻尼比为。
用式，其中r1＝0.923，f0＝5000 n，k1＝4.62×105n/m，以及上述值，计算得x1＝2.9 cm。
8-12 一个质量为300 kg的机器放在长为1.8 m的悬臂梁末端。梁的弹性模量为200×109n/m，惯性矩为1.
8×10–5m4，当机器以1000 r/min速度运转时，稳态振幅为0.8 mm。当一个质量为30 kg，阻尼系数为650 n-s/m，刚度1.
5×10–5n/m的减振器加到悬臂梁的末端时，机器的稳态振幅为多少？
梁的刚度是。
系统的固有频率为。
对＝1000 r/min＝104.7 rad/s的频率比为。
在加减振器之前，由稳态振幅计算得受迫力幅为：
减振器的固有频率为。
因此减振器的设计参数为。
把上述值代入式，得x1＝9.08×10–4 m。
8-15 如题8-15图所示，已知机器质量m1=90kg，减振器质量m2=2.25kg，若机器上有一偏心质量kg，偏心矩e=1cm，机器转速n = 1800 r/min。试问∶(1) 弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？
(2) 此时振幅b2为多大？(3) 若使振幅b2不超过2mm，参数m2，k2应如何改变？
解：建立广义坐标由图示。得作用力方程为。
设，代入上式得。
由已知条件知：作用在机器上的激振力。
1）若满足，则机器振幅为零。则。n/m
2）此时：mm
3）令b2＝2 (mm)
则：同时满足。
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