宏观第二章

第二章新古典增长模式。

虽然哈罗德－多马模式在重新唤起人们对增长和长期积累问题的兴趣方面起了开创性的作用，但是，由于哈罗德－多马模式假定的致命缺陷产生的“韧锋”均衡特征，导致人们对这一模式的兴趣的减退。

索罗(solow,r,1956)和斯旺(swan,t,1956)各自独立地提出了一个经济增长模式，修正了哈罗德－多马模式，克服了令人难堪的“韧锋均衡”问题(knife-edge problem)。因两个模式的经济含义一致，世人合称为索罗－斯旺模式。此后，大量的经济学家卷入对新古典增长模式的研究，如丹尼斯(denison,e.

)、肯德里克(kendrick,j.)、卡斯(cass,d.)以及库普曼斯(koopmans,t.

)等人从理论和实证方面，不断修正并扩展索罗－斯旺模式并使之日益精细化，在50－60年代形成蔚为大观的“新古典增长理论”(neo-classical growth theory)大潮。

第一节索罗—斯旺模式。

2023年索罗在《对经济增长理论的一个贡献》一文中在对哈罗德—多马模式的批评的基础上，提出了一个新古典特征的新古典增长模式，同年，斯旺在《经济增长和资本积累》一文中也提出了相似的模式，两者合称为“索罗—斯旺模式”。

1．1 基本假定。

所有的新古典经济增长模式都采用了同样的一般均衡结构。首先，居民户（或家庭）拥有经济中的投入和资产，并选择收入用于消费和储蓄的份额。每一居民户决策生育多少子女、是否工作、工作多少。

其次，厂商雇佣资本和劳动，并用这些投入生产产品以销售给居民户或其他厂商。最后，在市场中，一方面厂商向居民户和其他厂商销售产品，另一方面居民户向厂商供给投入。并且需求量和供给量决定了各种投入和生产的产品的相对**。

为简化的目的，索罗—斯旺模式做了如下假定。

1）假定经济是封闭的，居民户不能购买外国产品或资产，也不能向国外**产品和资产。

2）假定居民户和厂商具有类似罗宾逊克鲁索(robinson crusoe)经济的性质。经济中只存在两种投入，物质资本k(t)和劳动l(t)。生产函数的形式为：

y(t)=f[k(t),l(t)],其中y(t)是t时的产出。

3）假定产出是一个齐次(homogenous)产品，它可用来消费c(t)、投资i(t)或生产新资本k(t)。

4）假定储蓄率s()是外生(exogenous)给定的。

5）假定资本折旧率是常数。

6）假定经济关于时间是连续的（以下时间标记省略）。初始的资本和劳动水平给定，分别为且人口（或劳动）以不变的外生增长率增长，即。那么t时的人口（或劳动）就为。

1．2新古典生产函数的性质。

索罗—斯旺模式的核心是其新古典生产函数，如果忽略技术变化，则有。

2.1y=f(k,l

假设函数f(.)是二阶连续可微的，并满足如下性质：

（1）对所有k>0,l>0,f(.)是一个非递减(nondecreasing)函数，投入越多，产出越多。即是说，它关于每一投入具有正的和递减的边际产品：

（2）f(.)是一个一次齐次函数，它具有规模不变收益：

f(λk,λl)= f(k,l), 0

上式对λ求微分，可得欧拉方程(euler equation)：

即产出在资本和劳动之间分割，厂商只有零利润。

（3）f(.)满足inada条件，即：

4）f(.)是一个拟凹函数(quasi-conc**e)。即对有：

在实际中，我们使用更强的条件，假设它是一个严格拟凹函数。即对有。

5）没有免费的午餐(no-free lunch)，这意味着每一投入都是重要的，即。

f（0，l）=f（k，0）=0

证明如下：l’hopital’s rule）

从而有：因此。

6）在不变收益假设下，生产函数可写为人均的形式：

固定l，对k求微分，固定k，对l求微分可得投入要素的边际产出为：

1．3索罗—斯旺模式的基本动态方程式。

产出在消费和投资之间划分。在不变的资本折旧率下，获得资本积累的动态方程为：

假定人均资本（资本—劳动比）为k=k/l, 对人均资本求导。

在(1)式的两边除以l，得。

由(2.3)和(2.4)式可得索罗—斯旺模式的基本方程式为。

这一非线性方程只依赖于k。这一基本方程说明，资本－劳动比的变化率是由每一工人的储蓄(和投资)量与劳动力增长时为保持资本一劳动比不变所要求的投资量的差值所决定的。如果每一工人的储蓄大于投资量，则资本存量将比劳动力增长得更快，资本－劳动比就会随之提高。

而当每一工人的储蓄恰好和增长着的装备量保持一致时，资本－劳动比的变化率将等于零，资本－劳动比将保持在不变的水平上。此时，经济处于稳定状态之中。

图1显示了方程(2.5)的运作。上面的曲线是生产函数f(k)，sf(k)项除了正的乘子s外类似与生产函数。

值得注意的是，sf(k)曲线从原点出发具有正斜率，并且随k的增加变得更加平坦。(n+)k项是从原点出发具有正斜率(n+)的直线。考虑一个初始人均资本存量k(0)>0的经济，图2.

1显示，人均总投资等于sf(k)曲线在该点的高度，人均消费等于曲线sf(k)与f(k)在该点的垂直距离。

n+)k f(k)

sf(k)c

k(0k图2.1。总投资sf(k)与生产函数f(k)成比例。

人均消费等于f(k)与sf(k)曲线之间的垂直距离。k的有效折旧由从原点出发的直线(n+)k给出。k的变化由sf(k)与直线(n+)k之间的垂直距离给出。

稳定状态的资本水平取决于曲线sf(k)与直线(n+)k的交点。

图2.2给出了索罗—斯旺模式中的k的相位图。因为，。

在相位图中，是k的函数。如果初始的k小于，实际投资超过稳定状态资本水平，因此为正值，即k是上升的。如果k大于，为负值，k减少。

最后，如果k等于，为零。因此，不管k的初始值如何，它总收敛于。

0k图2.2。索罗—斯旺模式中的k的相位图。

1．4 平衡增长。

索罗—斯旺模式意味着，不管经济的初始位置如何，该经济总会收敛于一条平衡增长路径。平衡增长路径是这样一种状态，经济中的每一变量都以常数率增长。在索罗—斯旺模式中，对应(4)式的的稳定状态是图1.

1中sf(k)与(n+)k的交点。即满足如下均衡增长条件：

由(2.6)式可知，索罗—斯旺模式的均衡增长条件与哈罗德一多马模式的恒等式是等价的。唯一不同之处在于，新古典增长模式中使用了以k为变量的一次齐次生产函数，从而均衡增长条件总可通过k值的调整得到满足，进而避免了哈罗德—多马模式中的“韧锋均衡”特征。

因为在稳定状态中k是常数，相应地，在值下，y和c也是常数。因此，在索罗—斯旺模式中，人均k,y和c在稳定状态中不会增长。这就意味着稳定状态中变量k,y和c以不变的外生的人口或劳动力的增长率n增长。

即。在均衡增长条件下，可知产出均衡增长率即是外生给定的人口或劳动力的自然增长率，即：

2.7) g==n

这是索罗—斯旺模式的一个重要缺陷。(2.7)式暗示，在一个人口增长为零的经济中，增长率会趋于零，这是一个非常“令人不愉快的结果”(unpleasant result)。

为了克服这一缺陷，索罗2023年在《技术变化和总量生产函数》一文中引入外生的技术变化，以解释可能的正的人均收入的长期增长。

remark 1：均衡的存在性与唯一性。

lemma1:在新古典生产函数的假设下，如果参数n,s满足，则方程(5)的系统就存在唯一的满足。

先考虑唯一性。因为f(k)是严格单调上升函数，所以也是单调的，显然均衡解是唯一的。

下面考虑均衡的存在性。

首先，由生产函数的假设可知。同时对任意的k>0，有。

0=f（k，0）=，从而。

因此存在，使得对任意的k>,。即对，。

另一方面，有l’hospital rule,有。

因此存在，使得对，。即对，。

注意到是连续函数，由中值定理可得，至少存在。

remark 2: 均衡点叫做渐近稳定的，如果对任意的初值k(0), 方程(2.6)的系统的路径满足；均衡点叫做局部渐近稳定的，如果存在一个区域，对任意的初值k(0)，方程(2.

6)的系统的路径满足。

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