1、选择题。
1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，，得到1＋3＋＋(2n－1)＝n2用的是( )
a．归纳推理 b．演绎推理 c．类比推理 d．特殊推理。
2． 在÷abc中，e、f分别为ab、ac的中点，则有efbc，这个问题的大前提为( )
a．三角形的中位线平行于第三边b．三角形的中位线等于第三边的一半c．ef为中位线d．efbc
3． 用反证法证明命题°＋是无理数±时，假设正确的是。
a.假设是有理数b.假设是有理数c.假设或是有理数d.假设＋是有理数。
4． 用数学归纳法证明：1＋＋＋时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是 ( ab. c. d.
5． 已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(xn*)，猜想f(x)的表达式为( )
ab. cd.
6． 已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋＋f(n)不能等于。
a．f(1)＋2f(1)＋＋nf (1) b．f() c．n(n＋1) d. f(1)
7． 对°a，b，c是不全相等的正数±，给出下列判断：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20；
a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立．其中判断正确的个数为( )a．0个b．1个c．2个d．3个。
8． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有。
两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱椎．
a．4个b．3个c．2个d．1个。
9． 数列满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于( )a. b．－1 c．2 d．3
10．定义在r上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值 ( a．恒小于0 b．恒大于0 c．可能等于0 d．可正也可负。
二、填空题。
11．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为。
12．f(n)＝1＋＋＋nn*)，经计算得f(2)＝，f (4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n2时，有。
13．如图所示是按照一定规律画出的一列°树型±图，设第n个图有an个°树枝±，则an＋1与an(n2)之间的关系是___
14．在平面几何中，÷abc的内角平分线ce分ab所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥a—bcd中(如图所示)，面dec平分二面角a—cd—b且与ab相交于e，则得到的类比的结论是___
三、解答题。
15．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
16．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
17．设a，b为实数，求证： (a＋b)．
18．设a，b，c为一个三角形的三边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.
19．数列满足a1＝，前n项和sn＝an.(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
20．设f(n)＝1＋＋＋是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1) ＋f(2)＋＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论．
答案。1．a 2．a 3．d 4．d 5．b 6．c 7．b 8．c 9．c 10．a
11．n＋(n＋1)＋(n＋2) ＋3n－2)＝(2n－1)2
12．f(2n)> n2) 13．an＋1＝2an＋1(n1) 14.＝
15．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的：证明如下：设αβ，且γα＝a，则必有γβ＝b，若γ与β不相交，则必有γβ，又αβ，与γα＝a矛盾，à必有γβ＝b.
2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
16．解假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝－md,2＝＋nd，m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
m为有理数，(＋1) n为无理数，àm(＋1)n.à假设不成立．
即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
17．证明当a＋b0时，0，à a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证 (a＋b)，只需证()22，即证a2＋b2 (a2＋b2＋2ab) ，即证a2＋b22ab.
a2＋b22ab对一切实数恒成立，à a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
18．证明要证s<2a，由于s2＝2ab，所以只需证s<，即证b因为s＝(a＋b＋c)，所以只需证2b由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
19．解 (1)令n＝2，a1＝，às2＝a2，即a1＋a2＝3a2.àa2＝. 令n＝3，得s3＝a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，àa3＝.
令n＝4，得s4＝a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，àa4＝.
2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．
当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
假设当n＝k时，结论成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，sk＝ak＝·＝sk＋1＝ak＋1，即sk＋ak＋1＝ak＋1.à＋ak＋1＝ak＋1.
ak＋1＝＝＝
当n＝k＋1时结论成立．由可知，对一切nn*都有an＝.
20．解当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，得g(2)＝＝2，当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，得g(3)＝＝3，猜想g(n)＝n(n2)．下面用数学归纳法证明：
当n2时，等式f(1)＋f(2)＋＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．
当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．
假设n＝k(kn*且k2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋＋f(k－1)
k[f(k)－1](k2)成立，那么当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝k＋1) f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－]k＝(k＋1)[ f(k＋1)－1]，à当n＝k＋1时，等式也成立．由知，对一切n2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．
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