习题六矩阵的概念及代数运算。
一、 填空题：
1．取，，若，则3； 1； 9； -3。
2．设，，则13； 。
3．设，则当且仅当时，。
4．的充分必要条件是注意：
二、设，，试计算：1）；2）；
解：1）
4计算一定要小心。
三、设，，试计算：；及（为正整数）。
解： 需要巧妙运用结合律，第五题也一样。
四、计算：1） 设，求。
解： ；2） 设，求（为正整数）。
解 ---先算几个找规律。 再用归纳法证明。 另外的方法是把矩阵拆成两个，再用矩阵乘法的运算规则去算。
五、设，，，试求（为正整数）。
解：其中。一般地，当时，
用结合律，先把谁乘起来，费得力气不同。
六、 设，，，计算：；；解：
想想看，为什么？
七、 1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，则也是对称矩阵。
2）设、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是。
证明：1），所以也是对称矩阵。
2）已知、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵。
为抽象矩阵，故我们采用对称的定义来证明。
八、 设、为阶矩阵，且满足，及，证明：。
证明：因为，，所以。
这样， ，因此，所以，。
特别注意，矩阵乘法中没有消去律。
习题七行列式。
一、 填空题：
1．设，则。
2．设，则。
3．设，则。
4．设，则 00 。
二、计算下列行列式：
试着用行列式的各种性质做做， 熟练性质后，看看如何做又快又好。
四、设，是中元素的代数余子式。求的值。
解按第4行展开。
一、计算下列行列式：
解：，因此，。
解：按最后一行展开，可得：
二、用数学归纳法证明：
证明：时，左边==右边；假设时， 时，。
---总结： 对于n阶行列式， 零多的话就按一行或一列展开， 然后找递推的规律， 零少的话就先加加减减，把零变得多一点，再用上面的办法做，实在不行就得把一个行列式拆成几个做了。
习题八逆矩阵。
一、填空题：
1）设为3阶方阵，且，则4， 4， 16， 1/4。
注意 ，巧妙运用。
2）设是同阶可逆矩阵，则。
3）已知，则。
伴随矩阵第i行第j列的元素是的代数余子式，不是余子式，也不是。
4）设，则。
5）设三阶方程满足关系式，，且。
则。先整理一下， 写出a的表达式， 再具体求a.
二、设为3阶方阵，且，求的值。
解：因为所以。
不是绝对值。
三、求下列矩阵的逆矩阵。
解解：，伴随矩阵第i行第j列的元素是的代数余子式，不是余子式，也不是，这种方法求。
逆矩阵比较笨，等学习了用初等变换求逆矩阵，这种办法大概没人用了，但是原理还是要清楚。
四、设矩阵满足如下关系式，其中，求矩阵。
解：。可逆，注意逆乘在左边还是右边。
五、设四阶矩阵，且矩阵满足关系式：
求矩阵。解： ，
即：。有因为：
可逆，所以先化简整理，再求。
六、设阶矩阵和满足，（1）证明为可逆矩阵；（2）证明（3）已知，求矩阵。
证明（1）可逆。
2）由（1）。化简即得。
注意条件没有说明a 或b 可逆，所以不可以在等式两边左乘或又乘。
3）。由（1）知可逆，所以， 。
巧妙利用了（1）的结论，就可以右乘。
七、已知阶矩阵满足，证明可逆，并求。
证明： ，变形可得：
。因此可逆，且。
注意条件没有说明a，所以不可以在等式两边左乘。
八、设均可逆，则也可逆，并求其逆。
证明：由于均可逆，所以，也可逆。并且，也是解，请验证，并思考为什么。
习题九分块矩阵。
一、填充题：
1）如分别是阶和阶可逆矩阵，则。
得到结果后，建议验算一下。是不对的。
2）如分别是阶和阶可逆矩阵，为阵，则。
3）已知，则。
（4）已知，则。
5）已知，则。
二、利用分块矩阵的乘法计算下列矩阵的乘积：
解：令则。三、求下列矩阵的逆矩阵：
解：设，其中均为二阶矩阵，解：设，其中均为二阶矩阵，则则
3）（其中）
解：设，其中为阶矩阵，为一阶矩阵，则。
先要得到正确的分块逆矩阵， 然后再进行具体的计算。
---总结： 分块矩阵不要管它如何分，只是把它看成一个新的矩阵，只有当我们进行分块矩阵的运算时，发现不能相乘或做不下去，说明前面的分块方法可能有问题了，再想法解决。
四、设，求及。解：，五、设分块矩阵，，其中为阶可逆矩阵，为矩阵，为矩阵，为实数，求的值（用表示）。
解： ，思考为什么 ？
六、设都是阶矩阵，可逆，且，，（1）计算；（2）利用（1）证明：。解：（1）
2）由（1），而。
七、设为阶可逆矩阵，为矩阵，为系数，记分块矩阵，，其中是矩阵的伴随矩阵，（1）计算并化简；
（2）证明：矩阵可逆的充要条件是。
解：（1）（2）由（1），由于可逆，所以，因此，所以，可逆。
巧妙的利用p是可逆的，从而推到处q可逆的充分必要条件。
习题十矩阵的初等变换和矩阵的秩。
一、选择题：
1．若是阶可逆矩阵，则（ b ）
a）若，则 （b）总可以经过初等行变换化。
c）对矩阵实施若干次初等变换，当变为时，相应地正变为。
d）对矩阵实施若干次初等变换，当变成时，相应地变为。
2．设，，，则恒有（ c ）
a） （b） （c） （d）
3．设为同阶可逆阵，则（ d ）
ab）存在可逆矩阵，使。
c）存在可逆矩阵，使 （d）存在可逆矩阵和，使。
二、用矩阵的初等行变换求下列矩阵的秩。
2。，所以。
三、如，其中，，求。
解： ，四、已知矩阵的秩是3，求a的值。解：
---注意不能通过计算一个4阶子式=0 来求a的值， 为什么？
五、用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵。
解：解： 六、是阶非零实矩阵，的元素，是的代数余子式，试证。
证明： 是阶非零矩阵，。
所以可逆，从而。
是阶非零实矩阵， 不等价于，请回忆什么是零矩阵？
第二章习题答案
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