16届初二上学期期末寒假作业。
1．如图，ad是△abc的角平分线，点f，e分别在边ac，ab上，且fd=bd．
（1）求证∠b+∠afd=180°；
（2）如果∠b+2∠dea=180°，**线段ae，af，fd之间满足的等量关系，并证明．
自我提升：知识点。
数学方法。数学思想。
2．在四边形abde中，c是bd边的中点．
1）如图(1)，若ac平分， =90°,则线段ae、ab、de的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明。
2）如图（2），ac平分， ec平分，若，则线段ab、bd、de、ae的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
3）如图（3），bd=8，ab=2，de=8，，则线段ae长度的最大值是。
自我提升：知识点。
数学方法。数学思想。
3．解决下面问题：
如图，在△abc中，∠a是锐角，点d，e分别在ab，ac上，且，be与cd相交于。
点o，**bd与ce之间的数量关系，并证明你的结论．
小新同学是这样思考的：
在平时的学习中，有这样的经验：假如△abc是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，be，cd分别是两底角的平分线（或者如图b，be，cd分别是两条腰的高线，或者如图c，be，cd分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角。这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．
图a图b图c
请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．.
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4.在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为外一点，且， ,bd=dc. **：
当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系．
图1图2图3
1）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是此时。
2）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（1）中的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
3） 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=，则q用、l表示）．
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5. 在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路。 如：
在图1中，若点是的平分线上一点，点在上，此时，在上截取，连接，根据三角形全等判定（），容易构造出全等三角形和。参考上面的方法，解答下列问题：
如图2，在非等边中，但分别是的平分线，且交于点．求证．
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6. 已知：如图，d为线段ab上一点（不与点a、b重合），cd⊥ab，且cd=ab，ae⊥ab，bf⊥ab，且ae=bd，bf=ad．
1）如图1，当点d恰是ab的中点时，请你猜想并证明∠ace与∠bcf的数量关系；
2）如图2，当点d不是ab的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；
3）若∠acb=，直接写出∠ecf的度数（用含的式子表示）．
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7．在△abc中，ab＝ac，d是直线bc上一点，以ad为一边在ad的右侧作△ade，使ae＝ad，∠dae＝∠bac，连接ce．设∠bac＝α，dce＝β．
1）如图⑴，点d**段bc上移动时，角α与β之间的数量关系是。
证明你的结论；
2）如图⑵，点d**段bc的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是请说明理由；
3）当点d**段bc的反向延长线上移动时，请在图⑶中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是。
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8．已知：四边形abed中，ad⊥de、be⊥de.
(1) 如图1，点c是边de的中点，且ab=2ad=2be．
判断△abc的形状不必说明理由）；
(2) 保持图1中△abc固定不变，将直线de绕点c旋转到图2中所在的mn的位置（垂线段ad、be在直线mn的同侧）．试**线段ad、be、de长度之间有什么关系？并给予证明；
(3) 保持图2中△abc固定不变，继续绕点c旋转de所在的直线mn到图3中的位置（垂线段ad、be在直线mn的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．
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9. 在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，点d是线段bc上的一个动点（不与点b重合）．de⊥be于e，∠eba=∠acb，de与ab相交于点f．
1）当点d与点c重合时（如图1），**线段be与fd的数量关系，并加以证明；
2）当点d与点c不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．
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10．已知：如图(1)，在△abc中，∠bac＝90°，ab=ac，直线m经过点a，bd⊥直线m, ce⊥直线m,垂足分别为点d、e．证明：de=bd+ce.
小聪同学的思路是：通过证明，得出da=ec，ae=bd，从而证得de=bd+ce．
1） 如图(2)，将已知中的条件改为：在△abc中，ab=ac，d、a、e三点都在直线m上，并且有∠bda=∠aec=∠bac=．请问结论de=bd+ce是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
2) 拓展与应用：如图(3)，d、e是过点a的直线m上的两动点（d、a、e三点互不重合），点f为∠bac平分线上的一点，且△abf和△acf均为等边三角形，连接bd、ce，若∠bda=∠aec=∠bac，试判断△def的形状．
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