习题四作业。
1． 设随机变量ξ的分布列为。
试求：eξ ，e（），e |ξ解
3． 随机变量ξ服从几何分布，其分布密度为：
p (ξkk =1，2，…
证明： eξ= dξ= q
证明：6．设随机变量ξ的分布密度为。
f (xx求 eξ，dξ
解==0，（奇函数在对称区间上的积分为0）
7．随机变量ξ服从β—分布。
f (x) =
其中α＞0，β＞0为常数．
求常数a ，eξ及dξ
解由1= =a=
9．设随机变量ξ的分布密度为：
f (x) =
又知eξ=0.5，dξ= 0.15 ,求系数a，b，c ．
解 由=1得
由=0.5 得
由=0.15 得=+=0.15+=0.4 即。
解式，联立的方程组的，，
11．设球的直径d服从在[a ，b]上的均匀分布
1） 求球的表面积的数学期望（表面积π）；
2） 求球的体积的数学期望（体积π）．
解由~u (a, b),则= =
1）所以==
12．设某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p，借阅乙种图书的概率为α，且每位读者是否借阅甲种图书与是否借阅乙种图书是相互独立的，且读者与读者之间是否借阅甲、乙种图书的行动也是相互独立的．
1） 设某天恰有n名读者，那麽借阅甲种图书的人数的期望是多少？
2） 设某天恰有n名读者，那麽至少借阅其中一种图书的人数的期望是多少？
解 （1）设名读者中借甲种图书的人数为，则~b (,
则借阅甲种图书人数的数学期望为=
2）设a=”读者借阅甲种书”
b=”读者借阅乙种书”
则读者至少借阅一种书为 aub
设名读者中有人至少借一本书，则~b (,
于是读者中至少借阅一本书人数的数学期望为=
14．设某商店经销一种商品，该商品的每周需求量服从区间（10，30）上的均匀分布，而进货量为[10，30]中的某一整数．商店每售出一单位该商品可获利500元，若供大于求，则销价处理，每处理一单位该商品，商店亏损100元，若供不应求，则从别处调剂**，此时每售一单位商品获利300元．求此商店经销这种商品，每周进货量最少应为多少，可使获利的期望不少于9280元．
解：设每周进货量为c，10≤c≤30，且为常数。
为该商品的每周需求量。由题设知。
ξ～u (10 ，30 ),则其分布密度为。
f (x) =
η为此商店经销这种商品每周的获利。由题设知η=g(ξ)其中。
g(x)=
则。令，解得20.67≤c≤26,因此，可以取c≈21。
15．设某元件的寿命ξ（单位：1千小时）的分布密度为。
f (x) =
如果制造一个这种元件的费用是2元，售价是5元，而且规定当ξ≤0.52（千小时）时保证退款，求制造者从每个元件中获得的平均利润．
解设为制造者从每个元件中获得的利润。由题设知。
则=0.5945
的概率分布列为。
16．试问：连接以r为半径的圆周上一已知点与圆周上任意点的弦长的数学期望是多少？
解设已知点为a，过a点的直径为ab， =2r
表过a点与圆周上任意点p的弦长。
表ap与ab的夹角。
则~u(,)
所以。=2r=2r=
18．将m个球放入n个盒子中，设每个球落入各个盒子是等可能的．求有球的盒子数的期望．
解设ξ为有球的盒子数，为第个盒子有球，则有ξ=
又由题设可得。
所以 =故 ==
21．证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过1/4．
证明设事件a在一次试验中发生的概率为，不发生的概率为。
又设随机变量ξ为。
于是～， 记=。
令==0 解得=为得驻点。
又=<0 于是在=处达到最大值。
22．证明对取值于区间（a ，b）内的随机变量ξ，恒成立不等式
a ≤eξ≤b ， dξ≤．
证明先仅对连续型随机变量证明a ≤eξ≤b
记为的分布密度。
= =b同理可证
故有 a ≤eξ≤b
令==+则有=
令=0 解得=为的驻点，又=20，故在=达到最小。
即=若令=则有。
23．已知正常成年男性每毫升血液中白细胞的平均数为7300，标准差是700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200～9400之间概率的下界．
解设为正常成年男性每毫升血液中的白细胞数，由题设可知=7300， =700
由切比雪夫不等式可得。
26．设二维随机变量的联合分布列为。
求，，．解对的联合分布列的行，列分别相加可得到和的边缘分布列为。
28．二维随机变量的联合分布密度为
f (x , y) =
求 ，，解当0<<1时， =所以=
时， 时， 故。
30．已知随机变量相互独立，且eξ=2，dξ=1，eη=1，dη=4，试求：
的数学期望和方差．
解 （1）==2=0
31．证明：对随机变量与下面事实是等价的。
1） cov（）=0 ；
2） 与不相关；
3） e= e eη
4） d（）=d +dη
证明 =0==0不相关。
=d（）=dη+2=dη
32．设随机变量与的方差各为25，36，相关系数为0.4，试求： d（），d（）．
解由==0.4
得===12
d（）=dη+2=25+36+24=85
=+ dη2=25+3624=37
35．在长为l 的线段上任意取两点，求两点间距离的期望及方差．
解设分别表示在区间上任取两点的坐标。
则均服从，分布密度分别为。
因为相互独立，所以的联合分布密度为。
因此，两点间距离的期望为。
37．设随机变量ξ服从几何分布。
p（ξ=kk=1，2，…
求ξ的特征函数φ（t），并利用特征函数的性质求eξ和dξ。
解令，则。38．随机变量ξ的分布密度为。
f (x) =a > 0）
求ξ的特征函数φ（t）．
解 40．随机变量ξ服从伽玛分布，其特征函数为，利用特征函数的性质求eξ和dξ。
解。41．利用特征函数证明：若随机变量ξ服从区间（a ，b）上的均匀分布，则ξ的线性函数。
cξ+ d ( 其中c≠0，d为常数)也服从均匀分布．
证因为。由特征函数的性质可得。
这恰是均匀分布的特征函数由唯一性定理知随机变也服从均匀分布。
42．随机变量ξ和η相互独立，ξ～n (2 , 4 ),n (-1 ，1 )，利用特征函数求-ξ+3η-4的分布．
解， 由特征函数的性质可得
又由随机变量与独立，则有与独立。
由特征函数的性质可得。
这恰是正态分布的特征函数，有唯一性定理可知随机变量。
补充题。3．设随机变量和的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5。试根据切比雪夫不等式，估计的上限。
解因为。所以由切比雪夫不等式得。
4．邮局里有a、b、c三个顾客，假定邮局对每个顾客的服务时间服从参数为的指数分布。对a和b立即开始服务，在对a或b结束服务后开始对c服务，对a、b两人的服务时间是独立的。求顾客c在邮局中（1）等待时间的数学期望；（2）逗留时间的数学期望。
解记分别为邮局对a、b、c三个顾客的服务时间。则～
则的分布密度与分布函数分别为。
f (x) =f (x) =
1）c在邮局中等待时间为=，其分布密度为。
故～，则。2）c在邮局中逗留时间为=+
6．设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万元），如今要投资甲、乙两种**。若设投资于甲**的资金为，则投资于乙**的资金为1-=，于是（，）形成一个投资组合。记为投资于甲**的收益率，为投资于乙**的收益率，显然，都是随机变量，如果已知和的均值（代表平均收益）分别为和，方差（代表风险）分别为和，和的相关系数为，试求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的是多少？
第4章作业答案
8 a 用户王明对两个表有select权力。grant select on职工。to 王明。grant select on部门。to 王明。b 用户李勇对两个表有insert和delete权力。grant insert,delete on职工。to 李勇 grant insert,delete on...
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