第五章离散作业答案

∴左幺元e为幺元。

同理，右幺元亦为幺元。

证毕。3.证明：(1)当n=1时，x=x成立。

2)假设当n=k时，xk=x。

3)当n=k+1时，xk+1= xk*x=x*x=x。

综上(1)(2)(3)，命题成立。

证毕。4.解略。

5.解：运算表如下：

显然二元运算是封闭的。

不满**换律，满足结合律。

a,b,c皆为左幺元，右零元。

6.解：(a)∵a*b=a+b-3ab=b+a-3ba=b*a,a*b=b*a。

*是可交换的。

(a*b)*c=(a*b)+c-3(a*b)c=b+a-3ba+c-3(a+b-3ab)c

a+b+c-3(ab+ac+bc)+9abc

a*(b*c)=a+(b*c)-3a(b*c)=a+b+c-3bc-3a(b+c-3bc)

a+b+c-3(ab+ac+bc)+9abc

a*b)*c= a*(b*c),是可结合的。

(b)设幺元为e,e*a=a*e=a+e-3ae=a,e(1-3a)=0,又∵a具有任意性，e=0 ∈q。

< q , 的幺元为0。

c)∵令a*b= a+b-3ab=0,∴b(1-3a)=-a.

当a=1/3时，无逆元。

当a≠1/3时，a-1=b=-a/(1-3a) ∈q。

7.解：∵a*b=(a+1)×(b+1)-1=b*a，∴运算*是可交换的。

∵(a*b)*c= [a+1)(b+1)-1]*c =(a+1)(b+1)(c+1)-1,a*(b*c)= a*[(b+1)(c+1)-1] =a+1)(b+1)(c+1)-1,∴运算*是可结合的。

设幺元为e,则。

a*e=(a+1)(e+1)-1=a

得：e=0∈r。

∴存在幺元e。

令a*b=(a+1)×(b+1)-1=0，当a=-1时，不存在a-1.

当a≠-1时，a-1=b=-a/(a-a) ∈r。

8.解略。9.证明：∵ 是可结合的，aa)a = a(aa)，又∵若xy=yx,则x=y，aa) =a。

证毕。10.解：运算表如下：

由运算表可知：f1为幺元。

f4有逆元，f4-1 =f4 。

11.解：运算表如下：

12.(英文题)略。

13.(英文题)略。

5.2 半群与独异点。

1.解：群如图：

2.证明：(1)∵x*y = max(x,y) ∈n，< n , 是封闭的。

(2)∵(x*y)*z = max(max(x,y),z)=max(x,max(y,z))=x*(y*z)，

3)∵1*x = x*1 = x,∴1是< n , 的幺元。

综上(1)(2)(3)得，< n , 是独异点。

证毕。3.证明：

设r,s,t ∈ z∪，r=r0r1r2……rn，s=s0s1s2……sn，t=t0t1t2……tn，1) 显然r*s= r0r1r2……rn s0s1s2……sn∈z∪,是封闭的。

(2)∵(r*s)*t= r0r1r2……rns0s1s2……snt0t1t2……tn

r*(s*t)

*满足结合律。

3)∵εr = r *εr0r1r2……rn，∴ε为的幺元。

综上(1)(2)(3)得，是独异点。

证毕。4.解：(a)易证（略）。

(b) <均构成独异点。

5.证明：∵

∴< s , 满足结合律。