高三数学能力拓展题（2） 2013/8/17
一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）
1．函数的定义域是r，其图象关于直线和点(2，0)都对称，，则a．6 b．8 c．10 d．－4
2．已知点a(0，2)，b(2，0)，若点c在函数的图象上，则使得△abc的面积为2的点c的个数为___
a．6 b．8 c．10 d．4
3．已知定义在r上的奇函数，满足且在区间[0，2]上是增函数，若方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，则___
a．6 b．－8 c．10 d．－4
4．定义域为r的函数f(x)＝若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于___
a．5 b．15 c．10 d．24
5. 当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是___
a．k≤1 b．k≤-1 c．0< k≤1 d．-16．设α∈(0，)，cos(α－sin(＋β则sin
a． b． c． d．
二．填空题（每题5分）
7. 函数f(x)的定义域为r，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是___
f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函数。
8. 若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sin
三．解答题（每题12分）
9．已知函数，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．
1）求，的值；
2）不等式在∈[－1，1]上恒成立，求实数的取值范围；
3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
10. 已知函数，．
1）求在区间[，]上的最大值；
2）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
11．设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列．
1）求数列的通项公式(用，表示)；
2）设为实数，对满足且的任意正整数，，，不等式。
都成立．求证：的最大值为．
12．已知在数列中，+d (>0)．
1）若求并猜测；
2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件．
高三数学能力拓展题（2）答案解析 2013/8/17
一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）
1．【答案】 d解析：函数图象关于直线对称，则，函数图象关于点(2，0)对称，则，∴，又 ，2．【答案】d解析：ab＝2，直线ab的方程为，在上取点c（，）点c到直线ab的距离为，，，此方程有四个解．
3．【答案】b解析：因为定义在r上的奇函数，满足，所以，对是奇函数，函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程在区间[－8，8]上有四个不同的根，，，不妨设．
由对称性知，，所以
4．【答案】b解析：假设关于t的方程t2＋bt＋＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t2＋bt＋＝0，即得b＝－，所以h(x)＝f 2(x)－f(x)＋＝f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f(x)－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：
155. 【答案】a解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．
当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤1
6．【答案】c解析0，)，又cos(α－sin(α－
β∈(0sin(＋βcos(＋βsin(α＋cos
－cos(α－cos(＋βsin(α－sin
即sin(α＋
二．填空题（每题5分）
7. 解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期t＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：
④8. 解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝时，有sinθ＝±于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或或－.
答案：0或或－
三．解答题（每题12分）
9．解：（1），当＞0时，在[2，3]上为增函数，故，∴，
当时，在[2，3]上为减函数．
故，，． ∴ 即．．
2）方程化为，即：，令，则， ∈1，1]，∴记， ，
3)由。得，令， 则方程化为， 方程有三个不同的实数解， 由的图象(如右图)知，有两个根、，且或，记，则或，∴．
10. 解：（1）．
当，即时，在[t，t＋1]上单调递增．
当，即时， ；
当时，在[t，t＋1]上单调递减，．
综上，2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．，当∈(0，1)时，，是增函数；当∈(1，3)时，，是减函数；当∈(3，＋∞时，，是增函数；当或时，．，
当充分接近0时，，当充分大时，．
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须。
即．所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为(7，15－6ln3)．
11．设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列．
1）求数列的通项公式(用，表示)；
2）设为实数，对满足且的任意正整数，，，不等式。
都成立．求证：的最大值为．
解：（1）由题意知：，，化简得：，当时，，适合情形．
故所求．2) 证明：，，恒成立．又且，∴，故，即的最大值为．
12．已知在数列中，+d (>0)．
1）若求并猜测；
2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件．
解：（1）猜测．
2）由，得．
当时，显然，是等比数列．
当时，因为只有时，才是等比数列．
由，得即，或．
由得．当，显然是等差数列，当时，只有时，才是等差数列．
由，得即．综上所述：．
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