模糊数学作业

1.模糊集合及其运算部分作业：设。求。

解：2.模糊聚类分析部分作业。

1）设有模糊相似矩阵如下：，试求其传递闭包。

2）模糊聚类问题。

某高中高二有7个班级，学生成绩的好与差，没有明确的评定界限，并且班级间成绩好坏的表现具有一定的模糊不确定性。各班级成绩指标值见表1。

表1 7个班4门基础课的成绩指标。

解：问题的分析：

解决上述问题可运用模糊聚类分析方法。现以7个班级某次其中考试的四门主课成绩为依据，对7个班级成绩好坏的相关程度分类。

设7个班级组成一个分类集合：分别代表1班到7班。每个班级成绩均是四门基础课(语文、数学、英语、综合)作为四项统计指标，即有这里表示为第个班级的第门基础课指标。

这四项成绩指标为：语文平均成绩，数学平均成绩，英语平均成绩，综合平均成绩。

问题的解决：

1、数据标准化。

采用极差变换1）

式中是第i个班级第门基础课平均成绩的原始数据，和分别为不同班级的同一门基础课平均成绩的最大值和最小值。为第个班级第门基础课平均成绩指标的标准化数值。当时，，当时，。

表2 平均成绩指标值的标准化数值。

2、用最大最小法建立相似矩阵。

计算模糊相似矩阵r，根据标准化数值建立各班级之间四门基础课成绩指标的相似关系矩阵，采用最大最小法来计算：

其中是表示第个班级与第个班级在四门基础课成绩指标上的相似程度的量。取， =0，其余运算量可以通过matlab编程运算，程序如下：

clcclear all

meanp=[0 0.0273 1 0.6119 0.7368 0.7229 0.2911;

0.6605 0 1 0.4012 0.3488 0.0864 0.7731];%平均成绩指标值的标准化数值。

ca=[0;0;0;0];%初始化比较的数据。

cb=[0;0;0;0];%初始化比较的数据。

mina=[0];%初始化比较的数据。

maxa=[0];%初始化比较的数据。

for i=1:7

for j=1:7

for m=1:4

ca=meanp(m,i);

cb=meanp(m,j);

mina(1,m)=min(ca,cb);%计算任意两横的最小值。

maxa(1,m)=max(ca,cb);%计算任意两横的最大值。

endr(i,j)=sum(mina)/sum(maxa);%计算，即相似程度的量。

endend

r %显示相似矩阵。

得相似矩阵：

3、改造相似关系为等价关系进行聚类分析。

矩阵满足自反性和对称性，但不具有传递性，为求等价矩阵，要对进行改造，只需求其传递闭包。由平方法可得。

最后可得到。

故传递闭包为，它就是模糊等价矩阵。用其可对7个班级进行聚类分析。

令由1降至0，写出，按分类元素和归同一类的条件是。

取=1，则有。

u可分7类，，，

降低置信水平，对不同的作同样分析，得到。

取=0.77， u可分6类，，，

取=0.73， u可分5类，，，

取=0.69， u可分4类，，，

取=0.61， u可分3类，，。

取=0.36， u可分2类，。

取=0.15， u可分1类。

按不同的置信水平对7个班级进行模糊聚类，将会得到不同的分类结果。

3.模糊模式识别部分作业。

生物学家发现dna序列是由四种碱基a，t，c，g按一定顺序排列而成，其中既没有“断句”，也没有标点符号，同时也发现dna序列的某些片段具有一定的规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这四个字符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。而在不用于编码蛋白质的序列片段中，a和t的含量特别多些。

由此人工制造两类序列(a类编号为1～10；b类编号为11～20)，现在问题是如何找出比较满意的方法来识别未知序列（编号为21～40），并判别他们个属于哪一类。（数据见：模糊模式识别数据。

txt）

解：问题分析：提取已知类别的20个dna序列的a,t,c,g的百分含量构成如下矩阵：

x = xij)20×4,其中xi1, xi2, xi3, xi4分别表示第个dna系列中的a,t,c,g的百分含量。采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵，然后用传递闭包法进行聚类，动态聚类图如下。

确定最佳分类。

将20个已知dna序列分成如下3类为最佳：

a1 =,a2 =,a3 =.

建立标准模型库：a1, a2, a3.

未知dna序列的模糊识别采用格贴近度公式： 0(a, b) =a°b + 1 -a⊙b)]/2,将隶属于a1的dna序列归为a类，隶属于a3的dna序列归为b类，隶属于a2的dna序列归为非a,b类。

结果：20个人工序列的类别。

a类：22，23，25，27，29，34，35，36，37

b类既不属于a类又不属于b类的是：30,39

4.模糊综合评判部分作业。

晋升”的数学模型，以高校教师晋升教授为例：因素集u=；评判集：v=；

1）建立模糊综合评判矩阵。

当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价例如对张某，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。其结果如上表：

2）综合评判。

以教学为主的教师，权重a1=(0.2,0.5,0.1,0.2)

以科研为主的教师，权重a2=(0.2,0.1,0.5,0.2)

b1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)b2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14)

对b1，b2归一化（即将每分量初一分量总和），得。

b1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)

b2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12)

若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升，则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教授，这与实际实相符的。

5.模糊线性规划部分作业。

某企业根据市场信息及自身生产能力，准备开发甲乙两种系列产品，甲种系列产品最多大约能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250套。据测算：

甲每套成本3万元，获纯利润7万元；乙每套成本2万元，获纯利润3万元。生产两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元。问如何安排生产才能使企业获利最多？

解：设生产甲套，生产乙套，则可以建立模型如下：

求解模糊线性规划。

设约束（1）、（2）、（3）的伸缩系数分别为：

元），（套），（套）

为了将目标函数模糊化，先解经典线性规划问题。

求得：，，再解经典线性规划问题。

求得：，，于是。

将带入（5.24）得。

上述线性规划问题的最优解为，因此，安排甲种系列产品403套，乙种系列产品159套，能获最大利润为：万元）

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