分类讨论题。
类型之一直线型中的分类讨论。
直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要。
例。1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
a．50° b．80° c．65°或50° d．50°或80°
解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是°；2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.
答案：d .
同步测试：1.(乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
a．9cm b．12cm c．15cm d．12cm或15cm
2. （江西省）如图，把矩形纸片abcd沿ef折叠，使点b落在边ad上的点b′处，点a落在点a′处，1)求证：b′e=bf；
2)设ae=a，ab=b, bf=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明。
类型之二圆中的分类讨论。
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．
例2.（湖北罗田）在rt△abc中，∠c＝900，ac＝3，bc＝4.若以c点为圆心， r为半径所作的圆与斜边ab只有一个公共点，则r的取值范围是。
解析】圆与斜边ab只有一个公共点有两种情况，1、圆与ab相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点a在圆的内部，点b在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
答案】 3＜r≤4或r＝2.4
同步测试：3.（上海市）在△abc中，ab=ac=5，．如果圆o的半径为，且经过点b、c，那么线段ao的长等于。
4.（威海市）如图，点a，b在直线mn上，ab＝11厘米，⊙a，⊙b的半径均为1厘米．⊙a以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙b的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
1）试写出点a，b之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
2）问点a出发后多少秒两圆相切？
类型之三方程、函数中的分类讨论。
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况。
例3.（·上海市）已知ab=2，ad=4，∠dab=90°，ad∥bc（如图）．e是射线bc上的动点（点e与点b不重合），m是线段de的中点．
1）设be=x，△abm的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
2）如果以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的圆外切，求线段be的长；
3）联结bd，交线段am于点n，如果以a、n、d为顶点的三角形与△bme相似，求线段be的长．
解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要注意分类讨论。
答案】（1）取中点，联结，为的中点，，．又，．得；
2）由已知得．
以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的圆外切，即．
解得，即线段的长为；
3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；
当时，．易得．得；
当时，又，即，得．
解得，（舍去）．即线段be的长为2．
综上所述，所求线段be的长为8或2．
同步测试：5.（·福州市)如图，以矩形oabc的顶点o为原点，oa所在的直线为x轴，oc所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知oa＝3，oc＝2，点e是ab的中点，在oa上取一点d，将△bda沿bd翻折，使点a落在bc边上的点f处．
1）直接写出点e、f的坐标；
2）设顶点为f的抛物线交y轴正半轴于点p，且以点e、f、p为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
3）在x轴、y轴上是否分别存在点m、n，使得四边形mnfe的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
同步测试答案：
1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下，要分两种情况进行讨论，当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形．
答案】d2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，，，从而可求得b′e=bf；第(2)小题要注意分类讨论。
答案】（1）证：由题意得，在矩形abcd中，．
2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：
ⅰ）三者存在的关系是．
证：连结be，则．
由（1）知，．
在中，，．ⅱ）三者存在的关系是．
证：连结be，则．
由（1）知，．
在中，3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由ab=ac=5，，可得bc边上的高ad为4，圆o经过点b、c则o必在直线ad上，若o在bc上方，则ao=3，若o在bc下方，则ao=5。
答案】3或5．
4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论。
答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；
当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．
2）两圆相切可分为如下四种情况：
当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．
所以，点a出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．
5.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如e为顶点、p为顶点、f为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．
答案】（1）；．
2）在中，设点的坐标为，其中，顶点，设抛物线解析式为．
如图①，当时，解得（舍去）；．
解得．抛物线的解析式为。
如图②，当时，解得（舍去）．
当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．
又，此时四边形的周长最小值是．
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