2023年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析（1）
姓名。一、准确填空：
1、在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆弧。问阴影面积占纸板面积的几分之几？
答：19/28.
理由：矩形纸板共28个小正方格，.其中弧线都是圆周，非阴影部分共6个， 也共六个，可拼成6个小正方格。因此阴影部分共28-6-3＝19个小正方格。(图6-15)
所以，阴影面积占纸板面积的19/28.
2、如图是一座立交桥俯视图。中心部分路面宽20米，ab＝cd＝100米。阴影部分为四个四分之一圆形草坪(图6-16).
现有甲、乙两车分别图6-16在a，d两处按箭头方向行驶。甲车速56千米/小时，乙车速50千米/小时。问甲车要追上乙车至少需要
分钟？(圆周率取3.1)
答：2.62分钟。
理由：依交通规则，甲车行进路线为a→b→c→d(其中→表示沿弧线行进)，因而两车初始相距。
200+＝200+3.1×20＝262(米)
现甲车每小时比乙车多行6千米，所以每分钟甲车可追及乙车＝100米。所以。
262÷100＝2.62(分)
即甲车至少需要经过2.62分钟才能追及乙车。
二、谨慎推理：
3、如图6-17中正六边形abcdef的面积是54. ap＝2pf，cq＝2bq，求阴影四边形cepq的面积。 答：31
理由：如图7-17a，将正六边形abcdef等分为54个小正三角形。根据平行四边形对角线平分平行四边形面积。采用数小三角形的办法来计算面积。
pef面积＝3
cde面积＝9
四边形abqp面积=11.
上述三块面积之和为3+9+11＝23.因此，阴影四边形cepq面积为54-23＝31.
4、轮船从武汉到九江要行驶5小时，从九江到武汉要行驶7小时，问一长江飘流队员要从武汉乘木筏自然飘流到九江需要多少小时？
答：35小时。
理由：轮船顺水速＝静水船速+水速，轮船逆水速＝静水船速-水速。
由于武汉到九江距离为定值，所以，静水船速+水速)×5＝(静水船速-水速)×7
这表明12×水速＝2×静水船速， 即6×水速＝静水船速，也就是，轮船以7×水速的速度5小时可从武汉到九江。所以，木筏以1个水速的速度要35小时可从武汉(自然飘流)到九江。
三、急中生智：
5、你能在3×3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请填出一例，若不能，请说明理由。
答：不能。理由：若能填入九个自然数满足题设条件，则。
上面四个等式相加得，.
而，所以， ,与是自然数矛盾。
6、用面积为1，2，3，4的四张长方形纸片拼成如图6-18所示的一个大长方形。问：图6-18中阴影部分面积是多少？
答：1021.
理由：如图6-18a，大长方形面积为1+2+3+4＝10 延长ra交底边于q，延长sb交底边于p.矩形abpr面积是上部阴影三角形面积的2倍。
矩形absq是下部阴影三角形面积的2倍。所以矩形rqsp的面积是阴影部分面积的两倍。易知ca＝cd，cb＝cd
ab＝cb-ca＝cd-cd＝，因此矩形rqsp的面积是大矩形面积的，阴影部分面积是大矩形面积的。阴影部分面积＝.
四、规律探求：
7、将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作： ①将左边第一个数码移到数字串的最右边；
从左到右两位一节组成若干个两位数；
划去这些两位数中的合数；
所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
问：经过1997次操作，所得到数字串是什么？ 答：1731
理由：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173；
以下以4为周期循环，即4k次操作均为1173.1996＝4×499，所以第1996次操作得数字串1173，因此第1997次操作得数字串1731
8、现有如下一系列图形(图6-27)：
当n=1时，长方形abcd分为2个直角三角形，总计数出5条边。
当n＝2时，长方形abcd分为8个直角三角形，总计数出16条边。
当n=3时，长方形abcd分为18个直角三角形，总计数出33条边。
按如上规律请你回答：当n=100时，长方形abcd应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？
答：20000个直角三角形，30200条边。
理由： n=1时，直角三角形个，边数＝2·1(1+1)+＝5;
n=2时，直角三角形个，边数＝2·2(2+1)+＝16;
n=3时，直角三角形个，边数＝2·3(3+1)+＝33;
对一般的n，共分为个直角三角形，总计数出2n(n+1)+条边。
所以n=100时，共分为＝20000个直角三角形，总计数出2×100×(100+1)+＝30200条边。
五、小试牛刀：
9、华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的**(图6-28)，同学们猜测它是一种乘法表的记录。请你根据这个猜测，判定图6-29表示什么数？
答：图6-29表示3952.
理由：**中记录的是自然数乘以9的运算结果。左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中代表1， 代表10， 代表60.
因此图6-29表示：60×6+10×3+5×1＝395.
10、下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌。
请你将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字编为1～56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请读出这句话。
答：少年朋友亲切联欢，一九九七相聚中山。
理由：按要求编号排字，并画出质数号码：
将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢，一九九七相聚中山。
六、大题小做：
11、在3×3的方格表中已填入了九个质数。如果将表中同一行或同一列的三个数加上相同的自然数称为一次操作。问：
你能通过若干次操作使得表中九个数都变为相同的数吗？为什么？ 答：
不能！理由：表中九个质数之和恰为100，被3除余1.经过每一次操作，总和增加3的倍数。
设m次操作后能使表中各数都相等。此时表中诸数总和为。
它仍应是个被3除余1的数。但表中九个数变为相等，其总和应被3整除，这就得出矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为九个相同的数。
12、①世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛。每场比赛胜队得3分，败队记0分，平局时两队各记1分。小组各队全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按小分排序。
问：一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？简述理由。
答：7分。
理由：四个队单循环赛共6场比赛，每场均有胜负，6场最多共计18分。
若该队积7分，剩下的11分被3个队去分，那么，不可能再有两个队都得7分，即至多再有一个队可得7分以上。这样该队可以出线。
其次，如果该队积6分，则剩下12分，可能有另两队各得6分。如果这另两队小分都比该队高，该队就不能出线了。
所以，一个队至少要积7分才能保证必然出线。
在上述世界杯足球小组赛中，若有一个队只积3分，问：这个队有可能出线吗？为什么？
答：有可能出线。
理由：当6场比赛都是平局时，4个队都得3分，这时两个小分最高的队可以出线。如果这个队恰属于两个小分最高的队，那么这个队就会出线。
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